Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов изготовления (например, заводов) в пункты доставки (например, склады).

Транспортная модель может применяться при рассмотрении практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением именных графиков, назначением служащих не рабочие места, оборотом наличного капитала.

Транспортная задача может быть сведена к задаче линейного программирования и решена симплекс-методом. Вместе с тем специфика транспортной задачи позволяет решить ее более эффективным методом. Однако, и этот метод по существу воспроизводит шаги симплекс-метода.

Определение транспортной модели

При построении транспортной модели используются:

Заметим, что потребности одного пункта назначения могут удовлетворяться из нескольких исходных пунктов, так же один пункт производства может поставлять товар в несколько пунктов потребления.

Цель построения модели заключается в определении количества продукции, которую следует перевозить из всех исходных пунктов в пункты потребления при минимальных общих транспортных расходах.

Основное предположения транспортной модели состоит в том, что величина расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции.

Рассмотрим графическое представление транспортной модели

Рисунок 6

Транспортная модель такого вида называется сетевой и имеет mисходных пунктов иnпунктов назначения. Исходные пункты и пункты назначения называются вершинами сети или соответствующего графа. Маршрут по которому перевозится продукция называется дугой, количество продукции, производимая вi-ом исходно пункте обозначается. Количество потребляемой продукции вj-ом пункте -. Стоимость перевозки.

Соответствующую математическую модель можно записать в следующем виде:

Iотражает тот факт, что суммарный объем перевозок из некоторого исходного пункта не может превышать произведенного в этом пункте количества продукции.

IIпоказывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворять потребность в спросе на эту продукцию.

Анализ транспортной модели показывает, что суммарный объем производства не должен быть меньше объема потребления.

В том случае, если что суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, транспортная модель называется сбалансированной.

Такая модель является канонической моделью линейного программирования.

Пример транспортной модели

Заводы автомобильной фирмы расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Нью-Орлеане. Центры распределения в Денвере и Майами. Объем производства заводов 1000, 1500 и 1200 автомобилей соответственно. Ожидаемый спрос равен 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимость перевозки одного автомобиля приведена в таблице 10:

Таблица 10

- количество автомобилей, которые перевозят изi-ого пункта вj-ый (i=1,2,3;j=1,2).

Суммарный объем производства автомобилей равен 3700 и равняется суммарному ожидаемому спросу. Следовательно, данная транспортная модель является сбалансированной и ее можно записать в следующем виде:

при ограничениях

Компактный способ записи транспортной модели связан с использованием транспортной таблицы или матрицы, у которой соответствуют исходным пунктам, а столбцы пунктам спроса.

Для решения серьезных транспортных задач, будь то реконструкция вылетных магистралей или создание сети выделенных полос для общественного транспорта, в крупных городах используются транспортные модели этих городов и их пригородов. В правительстве Москвы при принятии управленческих решений тоже используются специальные математические модели. Я о них ничего не знаю, кроме того, что они есть. Но что мне известно наверняка, это то, что модели воспроизводящие ситуацию в Москве с высокой точностью есть в научных лабораториях и я каждый день работаю с одной из них. С помощью такой модели можно, исходя из текущих реалий, оценить будущую загрузку проектируемой дороги, результаты изменения маршрутов общественного транспорта, востребованность прокладки новых трамвайных путей или веток метрополитена.

Предела совершенству, как известно, нет, поэтому наша модель проходит непрерывные циклы улучшения, как в плане принципов математической модели, так и в плане структуры и качества исходных данных. В этой статья я хочу рассказать об исходных данных и как мы их собираем.
Начать, наверно, следует с описания, где же эта модель создается, что это такое и в чем состоят улучшения модели.

Наша лаборатория со сложным названием «Когнитивные методы анализа данных и моделирования» является подразделением Института системного анализа Российской академии наук. Одной из задач лаборатории является создание математической модели прогноза автомобильных и пассажирских потоков в транспортных сетях. Вот такая модель и была создана моим научным руководителем Швецовым В.И. и его коллегами в 1999 году и успешно использовалась в нескольких регионах нашей необъятной родины.

Что такое транспортная модель и моделирование транспортных потоков? Строго говоря, такого понятия как «транспортная модель» не существует, но, тем не менее, этот термин часто употребляется в кругах так или иначе связанных с транспортным моделированием. На деле, разные разработчики вкладывают отличающиеся понятия транспортной модели. Это как слово break в спорте – значение зависит от вида спорта.

Мы под транспортной моделью понимаем модель загрузки транспортной сети, то есть математический инструмент, предназначенный для моделирования транспортных потоков и служащая для их прогноза в транспортных сетях. Говоря транспортная сеть, мы подразумеваем улицы, дороги, линии внеуличного транспорта (метро, монорельс, трамвай), а также маршруты общественного транспорта.

Транспортная сеть Москвы и области
Тогда возникают вопросы: «отлично, вы придумали формулы и алгоритмы чтобы описать поведения участника движения, но откуда вы знаете сколько их и куда они едут?» или «Ну хорошо, вы все знаете куда кто едет, но почему вы считаете, что можете прогнозировать какая будет загрузка проектируемой дороги?» И тут начинается самое интересное.

На деле, вся математика известна с пятидесятых годов, когда различные физические методы (течение жидкости, вероятностные подходы и теория энтропии, законы притяжения масс или заряженных частиц) начали применяться для планирования развития транспортной инфраструктуры и частности для моделирования транспортных потоков. А вот с исходными данным есть сложности, и в их фактической доступности, и в их качестве, то есть надежности, достоверности и репрезентативности. Тут нужно сделать оговорку, чтобы исключить возможное непонимание в дальнейшем повествовании. Исходные данные для микромодлей и макромоделий существенно отличаются.

Исходные данные для микромоделей это частота расположения светофоров, время между переключением сигналов светофоров (точнее, важным является отношения времени разрешающего ко времени запрещающих сигналов), наличие «зеленой волны», пешеходных переходов и др.
Для описания транспортных потоков в масштабах города используются макромодели – именно такую модель разработала наша лаборатория. Макромодели сами делятся на статические, динамические, имитационные, прогнозные, оптимизационные и др. для которых важны такие параметры как:
общее чисто мест отправления и мест прибытия,
чисто мест отправления и прибытия в каждом условном районе
сеть (улично-дорожная сеть, внеуличная сеть, маршруты пассажирского транспорта)

Грубо говоря, этого бы хватило для описания транспортной сети и построения на ней математической модели. Но не тут-то было. Кончено, нужны фактические данные загрузки сети, чтобы проверить адекватность модели. То есть нам должно быть известно не только, сколько людей въехало и выехало из условного района, а сколько из них передвигалось на общественном транспорте, сколько на личном автомобиле и сколько вообще по данной конкретной дороге.

Когда эти данные есть, становится важным добиться максимальной точности модели по среднему количеству участников движения в определенные промежутки времени (например, для периодов: утренний час-пик, день и вечерний час-пик) по всем видам передвижения (общественный транспорт подземный, надземный городской/пригородный и личный автомобиль). Поэтому делают почасовые замеры интенсивности движения на дорогах, то есть количество единиц транспорта в единицу времени и измеряют среднюю скорость их движения, считают входы и выходы в метро, вокзалах и остановках пригородного транспорта.

Вы наверно утром видели людей в синей форме и планшетами в руках на входе в вестибюль метро, которые не безбилетников ловят, а что-то иногда записывают в свои планшеты. Они считаю пассажиропоток. И не смотря на все меры автоматизации, такие исследования все еще проводятся. Хотя пассажиропоток в метро и в пригородных электричках – самый хорошо изученный для транспортной инфраструктуры Москвы со множеством средств автоматического измерения пассажиропотока. Суммарный поток можно получить по числу проданных билетов, данных с турникетов на входе и выходе и специальных детекторов.

Вернемся к моделированию потоков. Модель загрузки транспортной сети требует большого количества исходных данных, получение которых является основной трудностью при разработке модели.
Мы разделяем три группы исходных данных:
Характеристики транспортной сети (количество полос и качество улиц и дорог, организация движения, маршруты и провозные способности общественного транспорта и др.)
Размещение объектов, порождающих передвижения (места проживания, места приложения труда, культурно-бытового обслуживания и др.)
Поведенческие факторы (подвижность населения, предпочтения при выборе способов и маршрутов передвижений и др.)

Характеристики транспортной сети и размещение объектов, порождающих передвижения выявляются по средствам изучения генерального плана Москвы (см. сайт городского портала, справа будут Книга 1, Книга 2, Книга 3 – ) или путем прямых замеров (замеры, обычно, происходят тоже не поднимаясь с рабочего места, например через сервис народная карта яндекс карт)

Поведенческие факторы обычно откуда-то берутся, то есть говорят, исторически сложилось, что в среднем человек совершает столько-то поездок в день, или чувствительность по цене (грубо говоря, по времени в пути) по поездкам с такой целью такая-то. Или другой пример слабо, но связанный с поведенческими факторами – это среднее количество людей в одном автомобиле. Почему на 1000 автомобилей приходится 1300 пассажиров включая водителей никто не знает. Но, конечно, проводились исследования, и есть показатели европейских городов, но мы пытаемся время от времени пересматривать эти показатели. Это нужно делать, потому что они меняются и во времени (например, очевидно нельзя опираться на транспортные показатели советской эпохи) и относительно города/страны (высокоточные значения параметров в Германии или Голландии не могут быть применены в Москве, но могут выступать в качестве ориентиров).

Пробел в исходных данных о подвижности населения можно восполнить опросами населения о совершаемых передвижениях. В первую очередь необходимо выяснить, с какими целями люди совершают свои передвижения. Далее предполагается получить ответы на следующие вопросы:
В какое время люди совершают поездки с определенными целями?
Какие виды транспорта они при этом используют?
Какова дальность и длительность таких поездок?

Сейчас наша лаборатория проводит короткий опрос граждан совершающих поездки по Москве, в котором мы просим ответить два вопроса: о целях передвижения и о количестве передвижений для каждого выхода из дома (если выходов больше двух). Кроме того мы просим указать возраст респондента чтобы определить какие возрастные группы нам удалось охватить, а какие нет. Данные по возрастной группе будут считаться «хорошими», если мы будет наблюдать устойчивую картинку распределения результатов с увеличением числа ответов этой возрастной группой. Другими словами, мы увидели какое-то распределения передвижений по целям людей в возрасте 25-35 лет, и после ответа еще 100 респондентов из этой возрастной группы распределение не изменилось, и после ответа еще 100 респондентов тоже. И так для каждой возрастной группы. Так мы хотим решить сразу два задачи: первая практическая – уточнение распределения передвижений по целям и вторая стратегическая – мы хотим понять как современные средства связи могу помочь в сборе такого рода данных. Потому что опросы, это тоже не тривиальная процедура получения данных.

После того как мы убедимся в правдоподобности полученных результатов мы запустим очередной опрос уже с большим количеством вопросов и позволяющий тоньше настроить нашу модель. А почему, спросите вы, так важно знать цели, с которыми люди совершают свои передвижения?

Потому в зависимости от цели у людей различаются стратегии их достижения. Самый простой пример, это то, как вы выбираете где купить хлеб, скорее всего вы не изменяете своего маршрута и покупаете его по пути домой. Когда же ваша цель поехать на работу – если вы уже работаете, то скорее всего (если вы не курьер и т.п.) все ясно куда ехать, но если вы ищете работу, то, наверняка, время в пути будет для вас не определяющим фактором. Тем не менее из двух похожих предложений, у одного из которых явное преимущество по расположению, вы выберите его. То есть с магазином, можно сказать, полная свобода выбора, с местом работы временная дальность отходит на второй план. Чтобы ярче проиллюстрировать наличие зависимости готовности провести время в дороге от цели, с которой нужно ехать, приведу третий пример: это вылет в другой города из аэропорта. В такой ситуации навряд ли у вас вообще есть выбор, в какой аэропорт ехать. Ответ прост, откуда рейс в тот и ехать. Временная дальность тут не играет, практически, ни какой роли.

Получается, что участники движения, двигаясь с разными целям будут по-разному строить свою стратегию передвижения. Поэтому функция описывающая силу притяжения каждого объекта удовлетворяющего какую-то цель должна быть разной. То есть ее коэффициенты будут разными, а вид функции, скорее всего, будет один и тот же. Я пишу скорее всего, потому что целей очень много и возможно существуют какие-то артефакты. Если вы пройдете опрос о ваших целях передвижения в ближайший будний день, то увидите, по окончании статистику, которая показывает сколько людей из общего числа ездят или ходят привести увести ребенка, пользуются услугами гос. органов, ходят в театры, музее (любой досуг) и другие развлечения, уезжают на дачу – стратегии достижения этих целей отличаются, поэтому нам важно разобраться в какой пропорции люди ставят перед собой (или перед ними ставят) те или иные цели.

2. Распределение передвижений по целям
Кроме того, цели передвижений – это практически единственное, что нельзя померить детекторами. Можно поставить на каждой улице детекторы и ответить на вопрос: сколько единиц автотранспорта проехало по каждой полосе, с какой средней скоростью, каковы размеры эти транспортных средств, распределение этих значений по часам и еще что-нибудь, но с какой целью эти товарищи передвигаются, ответить не получится. Это еще одна причина, почему мы решили проводить опросы самостоятельно.

Итак, имея устойчивое распределение передвижений по целям, например такое (а оно наблюдается у нас последние две недели, это около 300 респондентов):

Мы расщепляем полученную статистику по возрастному составу и проверяем устойчивость распределения уже внутри данной возрастной группы. Если эти расщепленные распределения кажутся нам правдоподобными и репрезентативными (то есть, они устойчивы к росту числа респондентов и правдоподобны с учетом статистической погрешности), то опрос принимается успешным и может быть закрыт. Но закрывать мы его, скорее всего, не будем, так как вреда он него нет, а польза от расширения статистки очевидна. Для получения данных о других поведенческих факторах планируется провести дополнительные опросы и добиться их репрезентативности.

В заключении хотелось бы подытожить, что, несмотря на то, что математический аппарат расчетов транспортных моделей известен уже давно, инженеры все еще сталкиваются со сложностями создания адекватных и репрезентативных моделей. Одним из ключевых факторов этого является отсутствие достоверных исходных данных. Часть исходных данных, таких как поведенческие факторы, невозможно получить исходя из документов определяющих развитие городов, и для их нахождения используются прямые замеры или опросы участников транспортной системы. Пример, такого исследования это опрос о целях передвижения граждан по Москве.

Собственно все.

В настоящее время для оценки качества нашей модели и ее улучшения мы используем данные об объемах входа и выхода пассажиров на станциях метрополитена. Эти данные, однако, не дают полной картины пассажиропотоков в метро. Для ее воспроизведения также возможно проведение опроса: респондент в таком случае указывает начальную и конечную станции совершаемых им поездок. Для оценки фактических корреспонденций между любыми двумя станциями в таком случае потребуется очень большое число опрошенных, однако для оценки средней дальности совершаемых поездок подобный опрос вполне пригоден.

P.S. Если вы хотите принять участие в опросе.

Транспортная модель (транспортная задача) используют при рассмотрении различных практических ситуаций в логистическом управлении, связанных: с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управление запасами, назначением служащих на рабочее места, оборотом наличного капитала и многими другими. Кроме того, модель можно изменить, чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции. В то же время транспортная модель и ее обобщение представляют собой частные случаи сетевых моделей.

Транспортная задача по существу представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс – методом. Однако специфическая структура условий задачи позволяет использовать более эффективные вычислительные алгоритмы.

Сущность транспортной задачи линейного программирова­ния состоит в наивыгоднейшем прикреплении поставщиков однородного продукта ко многим потребителям этого продук­та. На практике постоянно возникает необходимость решения таких задач, особенно когда количество пунктов отправления и получения грузов увеличивается.

Условие транспортной задачи обычно записывается в виде матрицы, в которой потребители однородного груза размеща­ются по столбцам, а поставщики - по строкам. В последнем столбце матрицы проставляют запас груза, имеющийся у каж­дого поставщика, а в последней строке - потребность в нем потребителей. На пересечении строк со столбцами (в клетках матрицы) записывают размер поставки, а также расстояние пробега по всем возможным маршрутам время доставки гру­за или затраты на перевозку единицы груза по этим маршру­там.

Постановка задачи и ее математическая модель. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у т поставщиков в количестве (), необходимо доставить п потребителям в количестве (). Известно стоимость перевозки единицы груза от го поставщика му потребителю. Необходимо составить план перевозок, имеющий минимальную стоимость. Основное предположение, используемое при построении модели, состоит в том, что величина транспортных расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции. Модель транспортной задачи представлена на рис 7.1.

m

n

Рис. 7.1. Транспортная модель

На рис. 7. 1. изображена транспортная модель в виде сети с т поставщиками некоторого однородного груза и п потребителями этого груза. При этом поставщикам груза и потребителям соответствуют вершины сети. Дуга, соединяющая поставщик груза с потребителем, представляет условный маршрут, по которому перевозится продукция. Количество продукции, производимой поставщиком , обозначено через , а количество продукции, потребляемой потребителем через ; стоимость перевозки единицы продукции из в .

Запишем математическую модель задачи:

1) Объем поставок го поставщика должен равняться ко­личеству имеющегося у него груза:

2) Объем поставок му потребителю должен быть равен его спросу:

3) Запас груза у поставщиков должен равняться суммарно­му спросу потребителей:

4) Размер поставок должен выражаться неотрицательным числом:

5) общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной:

Поставленная в задаче цель может быть достигнута раз­личными методами, например, методом северо-западного угла или методом потенциалов.

Модель транспортной задачи линейного программирования так же может использоваться для планирования ряда операций, не связанных с перевозкой грузов. Так, с ее помощью решаются задачи по оптимизации размещения производства, топливно-энергетического баланса, планов загрузки оборудования распределения сельскохозяйственных культур по участкам раз­личного плодородия и т. п.

Поставленная транспортная задача линейного программирования называется сбалансированной транспортной моделью, так как объем запасов равняется объему заказов. В реальных ситуациях не всегда объем производства равен спросу, однако транспортную модель всегда можно сбалансировать.

В случае превышения запас продукции над потребностью, т. е. если , вводится фиктивный (n+1) – й потребитель с потребностью

а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Аналогично, при , вводится фиктивный (m+1) – й поставщик с запасом груза а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Этими действиями задача сводится к сбалансированной транспортной задаче, из оптимального плана которой, получается оптимальный план исходной задачи.

Модель транспортной задачи представляет собой задачу линейного прогпаммирования и, етественно, ее можно решать с использованием метода последовательного улучшения плана или методом использованием метода последовательного улучшения оценок (симплексным методом). Но в этом случае основная трудность связана с числом переменных задачи . Поэтому специальные алгоритмы, например, такие как метод потенциалов и венгерский метод, оказываются более эффективными.

Алгоритм метода потенциалов, (его называют еще модифицированным распределительным алгоритмом) начинает работу с некоторого опорного плана транспортной задачи (допустимого плана перевозок). Для построения опорного плана обычно используется один из двух методов: метод северо-западного угла или метод минимального элемента. На конкретной задаче рассмотрим метод северо-западного угла. Он позволяет найти некоторый допустимый план перевозок.

Задача. На трех складах () имеется соответственно 140, 180 и 160 единиц однородного груза. Этот груз требуется перевести к пяти потребителям () соответственно в количествах 60, 70, 120, 130, 100 единиц. Стоимость перевозки от складов к потребителям приведена в табл. 7.2. (в правом верхнем углу каждой клетки). Например, сто­имость перевозки единицы груза со склада потребителю равна 2 у. е.

Таблица 7.2

Исходные данные для решения транспортной задачи

Поставщики	Потребители	Запасы продукции
Потребности

Найти допустимый план перевозок.

Для решения задачи на первом этапе составляется система огра­ничений и целевая функция. Система ограничений в общем виде (для задачи) имеет вид:

причем для

Целевая функция затрат на перевозку, значение которой необхо­димо минимизировать при имеющихся ограничениях, выглядит сле­дующим образом:

2 + 3 +4. + 2 + 4 + 2 , (92)

Далее перераспределяются объемы поставок грузов методом «северо-западного угла», т.е. первой заполняется верхняя левая (севе­ро-западная) клетка исходной таблицы. Примем объем перевозки со склада к потребителю максимально возможным из условий задачи и равным 60 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл.7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В таблице 7.3. найдем «северо-западный угол» (теперь это клетка )и укажем максимально возможное значение. Оно рассчитывает­ся следующим образом: со склада уже перевезено 60 ед. груза, поэто­му остаток на этом складе составляет 80 ед. (140-60). Вносим в клетку вместо значение, равное 70 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3. можно исключить из даль­нейшего рассмотрения. Остаток продукции на складе 10 ед. (140 – 60 – 70) припишем потребителю .Таким образом, весь груз со скла­да перевезен потребителям и первая строка табл. 7.3 исключается из дальнейшего рассмотрения.

В нашей табл.7.3 найдем новый «северо-западный угол» (клетка )и укажем в нем максимально воз­можное значение это 110 ед. (120 – 10). Остаток продукции на складе 70 ед. (180 – 110) припишем потребителю . Тем самим потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В оставшейся части табл. № найдем новый «северо-западный угол» (клетка ) и укажем в нем максимально воз­можное значение это 60 ед. (130 – 70). Остаток продукции на складе в количестве 100 ед. припишем потребителю .

Модели транспортной задачи

Модель, в которой спрос и производство равны, называется закрытой (сбалансированной).

Если баланс производства и потребления нарушен, т.е. часть произведенного продукта не вывозится а i > b j , модель транспортной задачи будет открытой. Для решения открытой модели приведем ее к виду закрытой, введя фиктивный пункт потребления. Его потребность в произведенной продукции будет равна: b m+1 = а i - b j . В случае, когда спрос превышает мощность пунктов-изготовителей, также имеем вариант открытой модели. Подход к ее решению аналогичен ранее приведенному: открытую модель сводим к закрытой, вводя соответственно фиктивного поставщика. В связи с нарушением баланса спроса и предложения изменяются и ограничительные условия: предложение больше спроса - условия х ij а i , в противном случае х ij b j .

Удовлетворение критериального условия - минимизация транспортных расходов - возможно только при учете реальных затрат, связанных с поставкой продукции реальным потребителям. Это необходимо иметь в виду, чтобы в процессе решения задачи блокировать прикрепление к фиктивному потребителю реальных поставщиков.

Методы решения транспортных задач

Решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т.д. пунктах производства, по первому, второму и т.д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются a i (q) , а текущих неудовлетворенных потребностей - b j (q) . Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем a i (0) = a i , b j (0) = b j . Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j, рассматриваются значения нераспределенного запаса в i-ом пункте производства и неудовлетворенной потребности j-ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: х i,j = min {a i (q) , b j (q) }. После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

a i (q+1) = a i (q) - x i,j , b j (q+1) = b j (q) - x i,j .

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: a i (q+1) =0 или b j (q+1) =0. Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1, т.е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b j (q+1) =0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей (a i = b j), нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (a i (q) = b j (q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения c i,j . В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ - метод минимального элемента, в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

Поскольку в правиле ”северо-западного угла“ значение Cij не учитывается, нельзя ожидать, что при вычислении исходного плана по этому правилу соответствующее значение линейной формы будет близким к минимальному.

1. Правило минимума по строке. Пусть минимальным элементом первой строки будет C1k (если минимальных элементов имеется более одного, то выбираем элемент с наименьшим индексом j).Предположим X1k= a, если a1<=bk; x1k=bk, если a1>bk. В первом случае полагают Xik=0 для i = k и переходят ко второй строке, заменяя bk наbk-a1. После этого находят минимальный элемент второй строки и повторяют процесс. Во втором случае заменяют a1 на a1-bk, bk-на нуль и определяют наименьший за вычетом C1k элемент первой строки, после чего описанный процесс повторяется.

2. Правило минимума по столбцу. Вычисление исходного плана проводится по правилу, описанному выше, с той разницей, что строки заменяются столбцами.

3. Правило минимального элемента матрицы. Отыскивается минимальный элемент Cij матрицы стоимостей перевозок, после чего величина перевозки (xij) полагается равной min(aibj). Процесс повторяется до тех пор, пока весь продукт не будет перевезен.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

vj[k] - ui[k] = Cij, i=1,..., m; j=1, …, n.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

Метод минимальной стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел аi или bj. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Метод двойного предпочтения. Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком V клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку V V. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком /. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Транспортная задача - это классическая задача линейного программирования о нахождении наиболее рационального с точки зрения затрат плана перевозок однородного продукта от изготовителя (поставщика) к потребителю. Термин "транспортная задача" определяет не только область приложения метода, но и особенности его реализации с точки зрения используемых математических приемов и т.п. В новых условиях хозяйствования, когда максимально необходимо сокращать расходы, в том числе и транспортные, решение транспортной задачи приобретет важнейшее значение.

РЕФЕРАТ

Микро- и мезо-моделирование транспортных потоков, примеры применения

Выполнил: студент группы 1бОД1

Пашкова Анастасия

Проверил: Жанказиев Султан

Владимирович

Москва, 2015

Введение

Введение

Моделирование движения является важным инструментом для моделирования операций динамических систем дорожного движения. В то время как микроскопические имитационные модели обеспечивают детальное представление о процессе движения, макроскопические и мезоскопические модели захватывают динамику движения крупных сетей, менее подробно, но без проблем применения и калибровки микроскопических моделей. В данном реферате я представляю мезо- и микро-модели. Микро-моделирование применяется в районах, представляющих особый интерес, в то время как имитации большой прилегающей сети менее подробно с помощью мезоскопической модели.

Моделирование движения стало очень популярным для моделирования операций динамических систем дорожного движения. Имитационные модели бывают макроскопическими, мезоскопический или микроскопические. Макроскопические модели (макро) -, как правило, модели трафика в непрерывном потоке. Мезоскопические (мезо) модели - модели отдельных транспортных средств. Микроскопические (микро) модели – модели, которые захватывают поведение транспортных средств и водителей в деталях, в том числе взаимодействие среди автомобилей, смене полосы движения, реагирования на инциденты и поведения при слиянии пунктов. Микроскопические модели подходят для оценки ИТС на оперативный уровень, так как представление многих динамических систем управления дорожным движением требует такого мелкозернистого моделирования процесса движения.

Тем не менее, применение микро моделирования происходит не без проблем. Подготовка исходных данных может занять очень много времени. Кроме того, микро-модели очень чувствительны к ошибкам или изменениям в данных по требованию ввода. И из-за сложной структуры участвующих моделей калибровка не является тривиальной.

С другой стороны, макро и мезо модели обычно имеют меньшие параметры для калибровки и менее чувствительны к ошибкам в сети кодирования или вариаций спроса. Однако из-за их более совокупного характера, такие модели ограничены в своих возможностях, чтобы захватить подробную поведение, необходимое для изучения транспортные сети с функциями управления динамическим движением.

Основы транспортного моделирования

Цель транспортного планирования – оптимизация использования ресурсов с целью организации эффективного функционирования транспортной системы.

Задачи транспортного планирования:

1.Прогноз – получение информации о будущих транспортных процессах.

2. Организационно-управленческая задача.

3. Оценка последствий. Оценка применимости проектных решений.

4. Координационная задача – реализация плановых мероприятий.

Этапы планирования:

1. Этап анализа проблем: сначала ставятся перед собой цели и выявляются проблемы, затем анализируется существующее положение;

2. Этап анализа альтернатив: идет так называемый цикл – разрабатываются мероприятия и сценарии, рассчитываются последствия, оценивается полученный результат;

3. Этап принятия решения.

Модель – это упрощенное представление реальности и/или протекающих в ней процессов.

Моделирование является по существу построением рабочей аналогии. Оно представляет собой построение рабочей модели, отражающей подобие свойств или соотношений с рассматриваемой реальной задачей. Моделирование позволяет изучать сложные задачи движения транспорта не в реальных условиях, а в лаборатории. В более общем смысле моделирование можно определить как динамическое отображение некоторой части реального мира путем построения модели на компьютере и продвижении ее во времени.

Транспортная модель – наглядное отображение комплексных транспортных процессов, с возможностью их прогнозирования в зависимости от различных условий.

Этапы исследования системы с помощью модели:

· формулирование целей и задач;

· создание транспортной модели;

· анализ полученной модели;

· проверка полученных итогов и результатов;

· внедрение результатов моделирования.

Транспортная модель – это:

· моделирование существующих и прогнозируемых пассажиропотоков и интенсивностей;

· инструмент для оптимизации работы пассажирского транспорта, включая расчет рентабельности маршрутов;

· анализ транспортных пассажиропотоков;

· подготовка транспортных прогнозов.

Классификация транспортного моделирования:

1. Микроскопическое моделирование. При этом виде моделирования детально моделируется каждый участок движения отдельного перекрестка или двух, трех. Моделирование нескольких пересечений на уровне транспортного средства.

2. Мезоскопическое моделирование. Анализируются макропоказатели на микромодели. Моделируется район города. Моделирование сети на уровне транспортного средства.

3. Макроскопическое моделирование. Моделирование целого города, региона, страны. Моделирование сети на уровне транспортных потоков.

Микромоделирование

Имитационное моделирование (микромоделирование) – это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе.

Микромоделирование – моделирование транспортных и пешеходных потоков на уровне отдельных объектов, отдельных транспортных средств, пешеходов.

В данном виде моделирования все участники движения рассматриваются в виде отдельных частей.

С помощью имитационного моделирования можно решать различные задачи, а именно:

· оценивается транспортная ситуация конкретного проекта, оценка основывается на количественных показателях, которые характеризуют условия движения;

· оценивается пропускная способность для каждого варианта движения и выбирается оптимальная схема организации движения на перекрестке;

· анализируется пропускная способность и движение в зоне остановок общественного транспорта;

· прогнозируются транспортные заторы;

· моделируется и анализируется пешеходное движение;

· моделирование помогает применить какие-то новые введения на транспортном участке;

· можно понять, где в данной транспортной сети возникают различные заторы.

Этапы выполнения микромодели:

· построение улично-дорожной сети;

· введение транспортных потоков;

· регулирование дорожного движения;

· ввод пешеходных потоков;

· анализ полученной модели.

Для того чтобы создать модель интересующего нас участка улично-дорожной сети, необходимо собрать данные:

· данные о геометрии улично-дорожной сети;

· технические и геометрические особенности различных типов транспортных средств;

· состав транспортного потока, т.е. какое количество видов транспортных средств присутствует на данном участке;

· интенсивность движения транспортных средств;

· расположение светофорных объектов и их циклы;

· данные о движении общественного транспорта (маршруты, расположение остановок, расписание, вместимость подвижного состава и т.д.);

· данные о пешеходном движении (интенсивность, направление движения, параметры пешеходных зон и т.д.).

После сбора полученных данных, можно приступать к созданию имитационной модели по этапам, оговоренных ранее.

Построение улично-дорожной сети:

· определяем на основе, какой подложки мы будем создавать модель (чертеж, выполненный в AutoCAD, спутниковый снимок, онлайн-карты и т.д.);

· на полученную подоснову наносим улично-дорожную сеть, представленную отрезками и соединения между этими отрезками;

· для каждой дороги определяем количество и ширину полос движения;

· определяем разрешенные маневры (повороты, обгоны, перестроения).

Введение транспортного потока:

· определяем, какие типы и классы транспортных потоков мы будем использовать;

· определяем динамические характеристики транспортной сети;

· определяем состав данного потока (количество легкого, грузового транспорта и т.д.);

· определяем параметры манеры поведения водителя;

· вводим интенсивность движения на входящих отрезках;

· вводим данные по общественному транспорту (расписание, остановки, вместимость подвижного состава и т.д.);

· указываем маршруты движения транспортных средств.

Регулирование дорожного движения:

· определяем конфликтные зоны, вводим правила приоритета;

· устанавливаем различные ограничения (например, скорость, знаки «стоп» и т.д.);

· вводим светофорное регулирование:

o определяем длительность цикла;

o указываем время для красного/зеленого сигналов;

o определяем фазовые переходы;

Ввод пешеходных потоков:

· определяем типы пешеходов и их динамических характеристик;

· настраиваем параметры модели поведения;

· вводим интенсивность движения пешеходных потоков;

· указываем маршруты движения.

Основные результаты и виды анализа:

o время задержки;

o время в пути;

o пройденное расстояние;

o количество ТС в сети.

· перекрестки:

o время задержки ТС, людей;

o длина заторов;

o количество остановок.

· отрезок:

o плотность;

o интенсивность;

o скорость;

o анализ отрезков в реальном времени.

· общественный транспорт:

o время в пути;

o стандартное отклонение;

o время в пути для пассажиров.

· светофоры:

o средняя продолжительность цикла;

o среднее время зеленого сигнала.

· маршруты:

o время в пути и скорость;

Мезомоделирование

Мезомоделирование – моделирование пассажирских перемещений на уровне города и агломерации.

Данный вид моделирования транспортных потоков решает важные задачи, а именно:

· анализ транспортного и пассажирского потоков;

· оптимизация маршрутов городского пассажирского транспорта;

· разработка и внедрение транспортных развязок.

Отличия мезомоделирования от микромоделирования:

· небольшое время вычислений, необходимых для создания модели;

· использование упрощенной модели следования за впереди идущим транспортным средством;

· менее точное отображение поведения транспортного средства;

· более низкий уровень детализации, что допускает имитацию крупных сетей.

При мезомоделировании данные транспортного средства обновляются не как в микроскопической имитации в каждый временной шаг, а только в определенные моменты времени, в которые что-то меняется в сети и/или в поведении ТС. Эти так называемые события могут возникать в силу различных ситуаций (при переключении ССУ, выезду транспортного средства на перекресток (узел) и т.д.).

Мезомоделирование используется исключительно в рамках динамического распределения. Это означает, что имитация транспортных средств в сети выполняется мезоскопически, а поиск маршрутов и выбор маршрутов выполняются привычным способом с помощью алгоритмов динамического распределения.

Применение

На сегодняшний день транспортные модели широко применяются для помощи органам государственной власти и местного самоуправления для обоснования принятых решений в области транспортного и градостроительного планирования. Задачи, решаемые на транспортных моделях множество, например:

· прогноз транспортных и пассажирских потоков по улично-дорожной сети города, региона, области или страны в целом;

· детальный анализ изменения транспортных/пассажирских потоков при реализации решений по изменению транспортной или градостроительной инфраструктуры;

· формирование предложений по оптимальным режимам светофорного регулирования на объектах улично-дорожной сети;

· формирование предложений по очередности строительства объектов транспортной и градостроительной инфраструктуры;

· оптимизация работы общественного транспорта;

· экономическое обоснование принятых решений и многое другое.

Так же, в последнее время очень актуальным становится вопрос использования транспортных моделей, как основного ядра для интеллектуальных транспортных систем.

---