Инвестирование

Математическое программирование выбор объекта инвестирования. Распределение инвестиций методом динамического программирования

14.05.2019

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X , Y и Z - множества. Если каждой паре (x , y ) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z , то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y ) .

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x ; y ) плоскости xOy .

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной .

Множество D называется областью определения функции z , а множество E – множеством её значений . Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Область определения функции нескольких переменных

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f (x , y ) , то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y , для которых выражение f (x , y ) имеет смысл и принимает действительные значения . Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной . Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n -мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n -й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число :

если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y .

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

:

если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;

если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y

Область определения функции - вся плоскость x0y , кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции .

Область определения функции - множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c , то область определения функции - вся плоскость x0y .

Пример 1.

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

Умножаем всё неравенство на и получаем

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

2.1. задача о распределении инвестиций

"Условие задачи. В производственное объединение входят три предприятия Пі, ТІ2, Щ. Руководство объединения решило инвестировать в свои предприятия 5 условных денежных единиц (усл. ден. ед.) в общей сумме. Проведенные маркетинговые исследования прогнозируют величину ожидаемой прибыли каждого из предприятий в зависимости от объема инвестированных средств. Эти данные представлены в приведенной ниже таблице. Считается, что при нулевых инвестициях ожидается нулевая прибыль.

Требуется найти такое распределение инвестиций между предприятиями, которое обеспечило бы максимум суммарной ожидаемой прибыли.

Решение. В данной задаче управляемой системой является рассматриваемое производственное объединение, многошаговым процессом - процесс выделения средств предприятиям. Отметим, что структура многошагового процесса в данной задаче определяется не течением времени, а порядком планирования распределения инвестиций. Экономический эффект представляет суммарная величина ожидаемой прибыли, и при этом задача решается на поиск максимума.

Для решения поставленной задачи построим прежде всего ее экономико-математическую модель в соответствии с пп. 1-5 разд. 1.7 гл. 1.

Число шагов./V в данной задаче следует принять равным 3, соответствующим числу входящих в производственное объединение предприятий: на первом шаге планируется выделение средств предприятию П, на втором шаге - предприятию Я2, на третьем шаге - предприятию Щ.

В качестве фазовой переменной х, определяющей состояние системы в ходе процесса распределения инвестиций, примем суммарный объем средств, выделенных предприятиям после каждого шага процесса. Именно, переменная х представляет объем средств, выделенных предприятиям после первого шага процесса (т. е. только предприятию П), Х2 - объем средств, выделенных после второго шага (предприятиям П и Д2), х3 -объем средств, выделенных после третьего шага процесса (всем предприятиям П, Я2 и Яз). Поскольку в начальный момент общая сумма выделенных средств равна 0, то начальное состояние системы характеризуется значением xq = 0. По условию задачи общая сумма инвестируемых средств равна 5 усл. ден. ед., т. е. обязательно выполняется условие хз = 5. Поскольку по смыслу задачи на каждом шаге процесса значения фазовой переменной не убывают, то выполняется ограничение Zj ^ 5. Отметим, что проведенный выбор фазовой переменной с указанным экономическим смыслом не является единственно возможным. Например, в рассматриваемой задаче можно было выбрать в качестве переменной х остаток нераспределенных средств.

В качестве управляющей переменной и примем объем средств, выделяемых предприятиям на каждом из шагов процесса. Именно, переменная щ представляет объем средств, выделяемых предприятию Щ (на 1-м шаге процесса), и2 - объем средств, выделяемых предприятию П2 (на 2-м шаге), из - объем средств, выделяемых предприятию 773 (на 3-м шаге). Будем считать, что средства предприятиям выделяются суммами но целому числу усл. ден. ед.; соответственно все управления принимают только целочисленные значения 0, 1, 2,... .

Функция процесса хі = /і(хі-і,щ), определяющая закон изменения состояния системы, для данной задачи представляется формулой

Хі = Хі-і + Щ

и имеет следующий простой смысл: суммарный объем средств хі, выделенных предприятиям нарастающим итогом после текущего шага с номером г, равен суммарному объему средств выделенных предприятиям после предшествующего шага с номером і - 1 (или, что то же самое, до текущего шага), плюс объем средств щ, выделенных предприятию Щ на текущем шаге.

Функция Zi, определяющая частный экономический эффект на шаге с номером г процесса, зависит только от объема щ инвестированных средств в предприятие Щ, т. е. Zi = Zi(m), и определяется по таблице данных задачи по столбцу, отвечающему этому предприятию. Например, z(2) = 4 (из столбца, отвечающего предприятию Пі), z2(3) = 6, 23 (4) = 9.

На этом действия, предписываемые пп. 1-5 разд. 1.7 гл. 1 выполнены, что означает завершение математической формализации поставленной задачи, т. е. построение соответствующей экономико-математической модели. Заметим, что после проведенной указанным образом формализации основные допущения метода ДП выполняются: отсутствие последействия следует из явных формул для вычисления Хі и Zi, а аддитивность целевой функции

Z = Zi(ui) + Z2 (и2) + 23(м3)

обусловлена самой постановкой задачи.

Тем самым можно непосредственно приступить к расчетам в соответствии с методом ДП. Эти расчеты, как указывалось выше в разд. 1.6 гл. 1, проводятся в три этапа: предварительный этап, этап условной оптимизации и этап безусловной оптимизации. На предварительном этапе и на этапе условной оптимизации результаты расчетов заносятся во вспомогательную и основную таблицы той структуры, которая приведена в разд. 1.7 гл. 1. На этапе безусловной оптимизации строится оптимальное решение задачи с использованием информации, содержащейся в основных таблицах.

Предварительный этап. Данный этап решения задачи проводится в естественном порядке для і = 1, 2,3 и не связан непосредственно с вычислением функций Беллмана Ві(хі). Заполняются только первая строка вспомогательной таблицы и четыре левых столбца основной таблицы.

Вспомогательная таблица заполняется соответственно начальному условию xq = 0 и имеет вид

Заполнение основной таблицы проводится следующим образом. Для заданного единственного допустимого значения xq = 0 выбираем все возможные значения управления щ (оно может принимать все целочисленные значения от 0 до 5 включительно) и заносим их во второй столбец таблицы. По формуле xi - xq + щ (следующей из общей формулы хг = Xi-i + щ при і = 1) проводим расчет соответствующих значений переменной хх и заносим их в третий столбец. Для заполнения четвертого столбца значения ожидаемой прибыли zx берем из столбца таблицы исходных данных задачи, отвечающего предприятию Пі. для щ - 1 по этой таблице zj = 2, для и = 2 по таблице zi - 4 и т. д. Для щ = 0 по условию задачи zi = 0. Получаем следующую основную таблицу:

На этом заполнение левой части основной таблицы завершено, причем таблица имеет только один строчный фрагмент. Переходим к следующему шагу.

i = 2.

На втором шаге в первую строку вспомогательной таблицы внесем все значения переменной х, рассчитанные на предшествующем шаге и фигурирующие в третьем столбце предыдущей основной таблицы. Получаем следующую вспомогательную таблицу:

Для заполнения основной таблицы на данном шаге будем, аналогично предшествующему шагу, последовательно выбирать все допустимые значения х, внесенные во вспомогательную таблицу, и проводить соответствующие расчеты. Каждому значению х будет соответствовать свой строчный фрагмент основной таблицы; разделяются соседние строчные фрагменты горизонтальной линией.

Для значения х = 0 выбираем все возможные значения управления U2 (оно может принимать все целочисленные значения от О до 5 включительно) и заносим их во второй столбец таблицы. По

формуле Х2 = Х + U2 (следующей ИЗ общей формулы Xi = Xi-l + щ

при г = 2) проводим расчет соответствующих значений переменной х2 и заносим их в третий столбец. Для заполнения четвертого столбца значения ожидаемой прибыли z2 берем из столбца таблицы исходных данных задачи, отвечающего предприятию П^". для и2 = 1 по этой таблице Z2 = 1, для U2 - 2 по таблице z2 = 2 и т. д. На этом завершается заполнение первого строчного фрагмента основной таблицы, соответствующего х = 0; этот фрагмент имеет следующий вид:

Для следующего допустимого значения xi = 1 строим следующий строчный фрагмент. При этом управление и2 может принимать все целочисленные значения от 0 до 4 включительно (поскольку после выделения предприятию П средств в объеме Х = 1

Аналогично формируются строчные фрагменты таблицы и для х = 2,3,4,5. Ясно, что с увеличением значения Х множество допустимых значений управления U2 сужается, и для Х = 5 допустимым является только одно значение и2 = 0. В результате получаем следующую основную таблицу:

Построенная таблица разделена на 6 строчных фрагментов-столько же, сколько различных значений может принимать переменная xi. Переходим к следующему (последнему) шагу. .

На третьем шаге в первую строку вспомогательной таблицы внесем все значения переменной х2, рассчитанные на предшествующем шаге и фигурирующие в третьем столбце предыдущей основной таблицы. Эти значения многократно повто

Динамическое программирование (ДП) - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми. Начало развития ДП относится к 50-м годам XX в. Оно связано с именем Р.Беллмана.

Если модели линейного программирования можно использовать в экономике для принятия крупномасштабных плановых решений в сложных ситуациях, то модели ДП применяются при решении задач значительно меньшего масштаба, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т. п.

В реально функционирующих больших экономических системах еженедельно требуется принимать микроэкономические решения. Модели ДП ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения. И если каждое взятое в отдельности такое решение малосущественно, то в совокупности эти решения могут оказать большое влияние на прибыль.

Рассматривается управляемый процесс, например, экономический процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования, пополнения запасов и т. п.

В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния (So), в конечное состояние (Sn). Предположим, что управление можно разбить на n-шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой n-шаговый процесс управления.

На каждом шаге применяется некоторое управленческое решение x k , при этом множество х-{х1,х2,...,хn) называется управлением. Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.

Условие отсутствия последействия . Состояние S k , в которое перешла система за один K- ый шаг, зависит только от состояния S k -1 и выбранного управления x k , и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние Sk 1:

S k (Sk 1, xk )

Также учитывается, что выбор управления на k-ом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу:

x k (S k -1 )

На каждом шаге управления x k зависит от конечного числа управляющих переменных. Состояние системы на каждом шаге зависит от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Рекуррентные соотношения Беллмана.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть f k (S k -1 ,x k) - показатель эффективности k – ого шага при всевозможных управлениях . Выделяют обратную и прямую схемы Беллмана.

Таблица 6 . Значения прибыли предприятий

Объем выделенных ресурсов

Прибыль от проектов

В данной таблице 6. представлены значения прибыли (F;(Q)),которые были получены путем решения производственно-экономической задачи каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов вложенных инвестиции.

Таблица 7. Данные о дополнительном доходе предприятий

Выделяемые ресурсы

В данной таблице 7. представлены данные о дополнительном доходе, которое предприятие-инвестор получит от каждого инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных инвестиций.

В таблице 8. рассчитаны показатели эффективности (Zi(Q)) инвестируемых предприятий, которые были получены с помощью прямой схемы Беллмана.

Таблица 8.Показатели эффективности

Выделяемые ресурсы

Дополнительный доход от проектов

Рассмотрим нахождение каждого из показателей эффективности:

Для показателей эффективности одного предприятия Zi(0) = pi(0)=0

Z1(200’000)= p1(200"000)=7068135,2

Z1(400"000)= p1(400"000)=2567391,9

Z1(600"000)=p1(600"000)=2216151,6

Z1(800"000)=p1(800"000)=1222330,8

Z1(l"OOO"OOO)= p1(l"000"000)=122233,09 Для показателей эффективности двух предприятий .

Z 2 (0)=p 2 (0)=0

Z 2 (200"000)= max{0 + 70 68135,2; 94 07519,6 + 0 )=9407519,6

Z 2 (400"000)= max{0 + 25 67391,9; 94 07519,6 + 70 68135,2 ; 80 92519,9 + 0}=16475654,8

Z 2 (600"000)=max{0 + 22 16151,6; 94 07519,6 +25 67391,9 ; 80 92519,9 +70 68135,2 ; 80 92353,6 + 0)=15160655,1

Z 2 (800"000)= max{0 + 12 2233,08; 94 07519,6 + 22 16151,6; 80 92519,9 + 25 67391,9; 80 92353,6 + 70 68135,2 : 80 92353,6 + 0}=15160488,8

Z 2 (l"000"000)=max{0 + 12 22330,9; 94 07519,6 + 12 22330,8; 80 92519,9 +22 16151,6; 80 92353,6 + 25 67391,9; 80 92353,6 + 70 68135,2 ; 67 38741,6 + 0}=15160488,8

Для показателей эффективности трех предприятий .

Z 3 (0)= p 3 (0)=0

Z 3 (200"000)= max (0 + 94 07519,6; 507 43194,2 + 0 )=50743194,2

Z 3 (400"000)= max {0 + 8092519,9; 507 43194,2 + 94 07519,6 ; 272 10300,4 + 0}=60150713,8

Z 3 (600"000)= max {0 + 8092353,6; 507 43194,2 + 8092519,9 ; 272 10300,4+94 07519,6; 272 10300,4 + 0}=58835714,1

Z 3 (800"000)= max {0 + 8092353,6:507 43194,2 + 8092353,6 ; 272 10300,4 +9407519,6; 272 10300,4 + 8092519,9; 272 10300,5 + 0}= 58835547,8

Z 3 (l "000"000)= max {0+6738741,6; 507 43194,2 + 8092353,6 ; 272 10300,4 + 8092353,6; 272 10300,4 + 8092519,9; 272 10300,5 + 94 07519,6; 27210300,4+0}=58835547,8

Для показателей эффективности четырех предприятий .

Z 4 (0)=p 4 (0)=0

Z 4 (200"000)= max (0 + 507 43194,2 ; 118 73132,7 + 0}= 507 43194,2

Z 4 (400"000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 507 43194,2 ; 84 75336,3+0}=62616326,9

Z 4 (600"000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 27210300,4; 84 75336,3 + 507 43194,2 ; 84 75336,3 + 0}= 59218530,5

Z 4 (800"000)= max {0 + 27 210 300,5; 11 873 132,7 + 27 210 300,4; 8 475 336,3+27 210 300,4; 8 475 336,3 + 50 743 194,2 ; 71 37734,9 + 0}=59218530,5

Z 4 (l "000"000)= max {0 + 27210300,4; 118 73132,7 + 27210300,5; 84 75336,3+ 27210300,4; 84 75336,3 + 27210300,4; 71 37734,9 + 507 43194,2 ; 62 83185,8+0}=57880929,1

Для показателей эффективности пяти предприятий .

Z 5 (0)=p 5 (0)=0

Z 5 (200"000)= max (0 + 11873132,7 ; 103 07000,5 + 0}= 11873132,7

Z 5 (400"000)= max (0 + 8475336,3; 103 07000,5 + 11873132 ,7; 77 36093,1+ 0}=22180133,2

Z 5 (600"000)= max (0 + 8 475 336,3; 10 307 000,5 + 8 475 336,3; 7 736 093,1+11 873 132,7 ; 7 736 093,2 + 0}=19609225,8

Z 5 (800"000)= max {0 + 7137734,9; 10 307000,5 + 8 475336,3; 77 36093,1 + 8475336,3; 77 36093,2 + 11873132,7 ; 72 41299,8 + 0}= 19609225,9

Z 5 (l "000000)= max {0 + 6283185,8; 103 07000,5 + 7137734,9; 77 36093,1 + 8475336,3;7736093,2+ 8475336,3; 72 41299,8+11873132,7 ; 71 67372,4+, 0}=19714432,5

После получения последнего показателя эффективности можно получить решение задачи:

Z 5 (1"000"000)= 103 07000,5 + 59218530,5 = 69525531,00 Q 1 = 20 000 000p.

Z 4 (800"000)= 118 73132,7 + 58835714,1 = 70708846,80 Q 2 = 20 000 000p.

Z 3 (600"000)= 507 43194,2 + 16475654,8 = 67218849,00 Q 3 = 20 000 000 p.

Z 2 (400"000)= 94 07519,6 + 7068135,2 = 164756548 Q 4 = 20 000 000p.

Z1(200000) = p!(200"000)= 70 68135,2 Q 5 = 20 000 000р.

Для получения максимальной прибыли предприятием- инвестором выделенные ресурсы (денежные средства в размере 100 000 000 рублей) должны быть распределены следующим образом - каждому инвестируемому предприятию следует выделить по 20 000 000 рублей. При этом максимальный объединенный показатель эффективности будет равен 70 708 846,80 рублей.

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для решения задачи оптимального распределения инвестиций в онлайн режиме. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).
Такого рода задачи основаны на функции Беллмана и при решении используется метод обратной прогонки (см. Типовые задания). Также можно воспользоваться сервисом Процедура прямой прогонки .

Инструкция . Выберите количество предприятий и количество строк (количество вариантов эффективного вложения), нажмите Далее (см. Пример заполнения). Если доход и остатки предприятий задан в виде функций f(x) и g(x) , задача решается через этот калькулятор .

Количество предприятий 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество вариантов эффективного вложения) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Пример №1 . Определите оптимальный план расширения производства трех предприятий, если известна их прибыль в год при отсутствии вложений и при инвестировании 1, 2, 3 или 4 млн. Определите, при каком инвестировании будет максимальный процент прироста прибыли.

f1 f2 f3 x i
40 30 35 0
90 110 95 1
395 385 270 2
440 470 630 3
620 740 700 4

I этап. Условная оптимизация .
1-ый шаг. k = 3.

e 2 u 3 e 3 = e 2 - u 3 f 3 (u 3) F* 3 (e 3) u 3 (e 3)
1 0 1 35
1 0 95 95 1
2 0 2 35
1 1 95
2 0 270 270 2
3 0 3 35
1 2 95
2 1 270
3 0 630 630 3
4 0 4 35
1 3 95
2 2 270
3 1 630
4 0 700 700 4

2-ый шаг. k = 2.

e 1 u 2 e 2 = e 1 - u 2 f 2 (u 2) F* 2 (e 1) F 1 (u 2 ,e 1) F* 2 (e 2) u 2 (e 2)
1 0 1 30 95 125 125 0
1 0 110 0 110
2 0 2 30 270 300
1 1 110 95 205
2 0 385 0 385 385 2
3 0 3 30 630 660 660 0
1 2 110 270 380
2 1 385 95 480
3 0 470 0 470
4 0 4 30 700 730
1 3 110 630 740 740 1
2 2 385 270 655
3 1 470 95 565
4 0 740 0 740

3-ый шаг. k = 1.

e 0 u 1 e 1 = e 0 - u 1 f 1 (u 1) F* 1 (e 0) F 0 (u 1 ,e 0) F* 1 (e 1) u 1 (e 1)
1 0 1 40 125 165 165 0
1 0 90 0 90
2 0 2 40 385 425 425 0
1 1 90 125 215
2 0 395 0 395
3 0 3 40 660 700 700 0
1 2 90 385 475
2 1 395 125 520
3 0 440 0 440
4 0 4 40 740 780 780 0
1 3 90 660 750
2 2 395 385 780
3 1 440 125 565
4 0 620 0 620

Примечание : Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 3-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.
Этап II. Безусловная оптимизация .
Из таблицы 3-го шага имеем F* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 780 тыс.руб., то есть максимальная прибыль от инвестирования e 0 = 4 млн.руб. равна 780 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что первому предприятию следует выделить u* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 0 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 1 = e 0 - u 1 , e 1 = 4 - 0 = 4 млн.руб.
Из таблицы 2-го шага имеем F* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 740 тыс.руб., т.е. максимальная прибыль при e 1 = 4 млн.руб. равна 740 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что второму предприятию следует выделить u* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 1 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 2 = e 1 - u 2 , e 2 = 4 - 1 = 3 млн.руб.
Последнему предприятию достается 3 млн.руб. Итак, инвестиции в размере 4 млн.руб. необходимо распределить следующим образом: первому предприятию ничего не выделять, второму предприятию выделить 1 млн.руб., третьему предприятию выделить 3 млн.руб., что обеспечит максимальную прибыль, равную 780 тыс.руб.

Пример №2 . Имеются 4 предприятия, между которыми необходимо распределить 100 тыс. усл. ед. средств. Значения прироста выпуска продукции на предприятии в зависимости от выделенных средств Х представлены в таблице. Составить оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин "динамическое" в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

Модели динамического программирования могут применяться, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

Самый простой способ решения задачи – полный перебор всех вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем. Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит динамическое программирование.

Динамическое программирование часто помогает решить задачу, переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с "оглядкой на будущее", на последствия принимаемого "шагового" решения. Оно должно обеспечить максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности шагов, входящих в операцию.

Метод динамического программирования может применяться только для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким требованиям:

· задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления;



· целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага;

· выбор управления на k-м шаге зависит только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

· состояние s k после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния s k-1 и управления x k (отсутствие последействия);

· на каждом шаге управление X k зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние s k – от конечного числа параметров.

В основе решения всех задач динамического программирования лежит "принцип оптимальности" Беллмана, который выглядит следующим образом:

каково бы ни было состояние системы S в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Этот принцип впервые был сформулирован Р.Беллманом в 1953 г. Беллманом четко были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование – процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Общая постановка классической задачи распределения инвестиций.

Рассмотрим общую постановку динамической задачи распределения инвестиций.

Для развития выделены капитальные вложения в размере S. Имеется n объектов вложений, по каждому из которых известна ожидаемая прибыль fi(x), получаемая от вложения определенной суммы средств. Необходимо распределить капитальные вложения между n объектами (предприятиями, проектами) таким образом, чтобы получить максимально возможную суммарную прибыль.

Для составления математической модели исходим из предположений:

· прибыль от каждого предприятия (проекта) не зависит от вложения средств в другие предприятия;



· прибыль от каждого предприятия (проекта) выражается в одних условных единицах;

· суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия (проекта).

Данная постановка является упрощенной моделью реального процесса распределения инвестиций, и в "чистом" виде не встречается, так как не учитывает некоторые факторы, а именно:

· наличие "неформальных" критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный, либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;

· уровень риска проектов;

· другие факторы.

В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.