Критерий Лапласа

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

Для решения задачи для каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности состояний природы полагаются равными qj = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса-Лапласа

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Возвращаясь к нашей таблице 1 предположим, что q1=0.4, q2=0.2 и q3=0.4. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа таблицу 1 дополняем столбцом математических ожиданий и среди этих значений выбираем максимальное. Получим таблицу 13.

Таблица 13.

Оптимальным является решение X1.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

v вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;
v решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
v для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.

Исходная позиция применяющего - критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Таблица 14. Оптимальные варианты, полученные с помощью различных критериев

Из таблицы 14 видно, что от выбранного критерия (а, в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Сэвиджа.

Примеры постановки решения задач

В данном параграфе на примере решения задач мы должны научиться определять вектор стратегий, вектор состояний и платёжную матрицу и применять различные критерии для получения оптимального решения.

Задача. В приморском городе решено открыть яхт-клуб. Сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек. Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год.

Решение. Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Для уменьшения объема перебора ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак: X= {Xi} = (2, 3, 4, 5) - количество яхт (i=1,2,3,4); B = {Bj} =(10, 15, 20, 25) - количество членов яхт-клуба (j=1,2,3,4).

Для того, чтобы начать поиск решения, построим матрицу решений, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j -ом количестве членов яхт-клуба:

aij = 100min(5Xi ; Bj) - 170Xi - 730

т.е. решающее правило в нашей задаче формулируется как "доход - затраты".

Выполнив несложные расчеты, заполним матрицу решений {aij} (см. табл. 15):

теория игра матричный решение

Таблица 15. Платёжная матрица

Например, a11 = 100min(52, 10) - 1702-730 =-70

a12=100min(52, 15)-1702-730=-70

a13 = a14 = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки.

Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) - для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

ZMM=max(-70; -240; -410; -580)=-70

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е.

Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице 16 выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных):

Таблица 16. Решения по Гурвицу для различных

Вывод: при 0,5 следует закупить 5 яхт и ожидать прибыль порядка, не меньшую 170 д.е. (надеемся на широкую популярность нашего клуба и определенную финансовую состоятельность любителей), при = 0,2 не следует закупать более 2 яхт (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от создания клуба).

Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D - для нашего примера, вычитанием (-70) из первого столбца матрицы полезности, 260 из второго столбца, 590 и 920 из третьего и четвертого столбцов соответственно, получим матрицу рисков (см. табл. 17):

Таблица 17. Матрица рисков

Наименьшее значение среди максимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:

ZS=min(990; 660; 340; 510)=340

Вывод: покупая 4 яхты для открываемого яхт-клуба, мы уверены, что в худшем случае убытки клуба не превысят 340 д.е.

Критерий принятия решения Байеса-Лапласа. Предположим, что есть статистические данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса на членство в яхт-клубе: q=(0,1; 0,2; 0,4; 0,3). Тогда математическое ожидание величины прибыли для каждого из рассматриваемых вариантов решения (предложение яхт в яхт-клубе):

a1r = (-700,1)+(-700,2)+(-700,4)+(-700,3) =-70 ,

a2r= (-2400,1)+(2600,2)+(2600,4)+(2600,3) =210;

a3r = 390; a4r = 370.

Вывод: в условиях рассматриваемой ситуации наиболее целесообразно закупить 4 яхты (в этом случае максимальная ожидаемая прибыль яхт-клуба составит 390 денежных единиц).

Для применения критерия Лапласа находим:

a1r = ((-70)+(-70)+(-70)+(-70)) / 4 = -70 ;

a2r = ((-240)+(260)+(260)+(260)) / 4 =135;

a3r = 215; a4r = 170.

Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса на членство в яхт-клубе следует закупить 4 яхты и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 215 д.е.

Общий вывод. Рассмотренные критерии приводят к различным решениям и дают тем самым информацию к размышлению (принятое решение здесь будет существенно зависеть от психологии и интуиции субъекта решения). Это неудивительно, так как критерии основаны на различных гипотезах. вводя ту или иную гипотезу о поведении среды, мы тем самым "снимаем неопределённость", однако сама гипотеза является только предположением, а не знанием. Было бы странным, если различные предположения приводили всегда к одному и тому результату.

Принятие решений в условиях риска

Как было сказано выше, принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что поведение природы (среды) имеет случайный характер. Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают (наступают) те или иные состояния природы. При этом лицо прин имающее решение имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть весьма разнообразна. Например, имеется три состояния среды B1, B2 и B3, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B1 наименее вероятно, а состояние B3 более вероятно.

Следовательно, принятие решений в условиях риска предполагает, кроме задания функции реализации, задание некоторой дополнительной информации о вероятностях состояния среды. Если множество состояний природы B конечно (число состояний равно m), то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q1, q2, …, qm), где qj?0 и.

Таким образом, матрица выигрышей в условиях риска может быть представлена в следующем виде (см. таблицу 1)

	Состояния среды

Выбирая решение Xi, игрок знает, что получит один из выигрышей a11, …, a1m с вероятностями q1, …, qm соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

Итак, сравнение двух решений X1 и X2 сводится к сравнению соответствующих им случайных величин..

Выбор оптимального решения обычно основывается на одном из следующих критериев:

1) критерий Байеса-Лапласа - ожидаемого значения (прибыли или расходов);
2) комбинации ожидаемого значения и дисперсии;
3) критерий произведения;
4) наиболее вероятного события в будущем и другие.

Рассмотрим подробнее критерий Байеса-Лапласа.

Критерий ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа)

На прошлой лекции мы рассмотрели критерий Байеса-Лапласа. Использование данного критерия (в литературе встречается другое название - критерий "ожидаемого среднего значения") обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть о - случайная величина с математическим ожиданием Mо и дисперсией Dо. Если x1, x2,..., xn - значения случайной величины (с.в.) о, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений

имеет дисперсию. Таким образом, когда n>

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия "ожидаемое значение" справедливо только в случае, когда одно и то же решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Прежде чем перейти к модификации критерия Байеса-Лапласа рассмотрим данный критерий подробнее.

Известно, что естественной числовой характеристикой случайной величины о является её математическое ожидание Mо, к которому приближается среднее значение этой случайной величины при большом количестве испытаний.

Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о закономерностях в конкретных проявлениях природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний природы известны и не изменяются со временем (стационарны), то оптимальным следует считать решение, максимизирующее ожидаемый выигрыш (которое дает наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы - состояния или условия).

Пример. Фирма купила станок за 100 денежных единиц. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0.3; сломается 1 раз - 0.4; сломается 2 раза - 0.2; сломается 3 раза - 0.1. Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать (X1) и не покупать (X2) специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей (см. таблицу 1):

Таблица 1.

	Выход станка из строя
B1, ни разу
X1, не купить
X2, купить

Решение. Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру. В матрице методом минимакса находим седловую точку: (X2, B4), таким образом, цена игры v= - 180 денежных единиц (см. таблицу 2).

Таблица 2.

	Выход станка из строя
B1,ни разу
X1, не купить
X2, купить

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: q= (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа.

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально, то его выигрыш составит M=-150Ч0.3-160Ч0.4-170Ч0.2-180Ч0.1=-161, а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит M=-100Ч0.3 - 140Ч0.4 - 180Ч0.2 -220Ч0.1 =-144.

Таким образом, первому игроку выгодно играть не оптимально!

Таблица 3.

	Выход станка из строя

B1, ни разу
X1, не купить
X2, купить

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x") объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии "недополучает" 36 денежных единиц выигрыша.

Итак, в игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, который получится при многократном повторении этой игры (при предположении, что условия игры не меняются). Разумеется, если игра в действительности многократно повторяется, то критерий среднего выигрыша (например, в экономических задачах - средней прибыли) можно считать оправданным. Однако разумно ли ориентироваться на этот критерий при единичном испытании?

Рассмотрим следующий пример. Фирма I может выставить на продажу один из товаров TI1или TI2, а фирма II - один из товаров TII1, TII2, TII3. Товары TI1 и TII1 являются конкурирующими (например, пиво и лимонад), а товары TI1 и TII3 дополнительными (например, пиво и вобла); остальные товары нейтральны. Прибыль фирмы I зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется таблицей 4. Известно, что фирма II выставляет на продажу товар TII3 в три раза реже, чем TII1 и в четыре раза реже, чем TII2. Какой товар следует поставлять на продажу фирме I?

Таблица 4

	Состояния среды

Здесь решение выставить на продажу фирмой I товар TI1, решение X2 выставить на продажу фирмой I товар TI2.

Вычислим математические ожидания для данной таблицы:

M=8Ч3/8+18Ч4/8+40Ч1/8=17, M=18Ч3/8+15Ч4/8+14Ч1/8=16.

Оптимальной стратегией будет решение X1, т.е. фирма I поставлять товар TI1. Безусловно, выигрыш в 17 денежных единиц лучше, чем в 16. Однако при выборе решения X1 мы получим не 17 денежных единиц, а один из выигрышей: 8, 18 или 40. При выборе решения X2 мы получим не 16 денежных единиц, а один из выигрышей 18, 15 или 14. Составим таблицу, где указаны отклонения возможных выигрышей от их ожидаемых значений и вероятности этих отклонений.

Таблица 5. Значения отклонений

Из данной таблицы видно, что при равных ожидаемых выигрышах, по-разному ведут отклонения от ожидаемых выигрышей: для X1 эти отклонения значительны, а для X2 - сравнительно невелики.

Из проведённого анализа можно сделать вывод: в условиях риска критерий Байеса-Лапласа (ожидаемого среднего выигрыша) не является адекватным и должен быть изменён с учётом возможных отклонений случайной величины от её среднего значения.

В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от её среднего значения обычно используют дисперсию Dо или среднеквадратичное отклонение у=. В задачах принятия решений в условиях риска будем рассматривать в качестве показателя риска среднеквадратичное отклонение у, т.к. у.имеет такую же размерность, что и случайная величина о, математическое ожидание Mо.

Таким образом, для принятия решения в условиях риска выбор альтернативы Xi приводит к случайной величине оi, которая может быть охарактеризована парой показателей (Mо, уi). Теперь приступим к построению адекватного критерия сравнения альтернатив. Фактически здесь получается задача двухкритериальной оптимизации, где в качестве частных критериев выступают математическое ожидание Mо (значение данного критерия нужно максимизировать) и среднеквадратичное отклонение у (значение данного критерия нужно минимизировать).

Рассмотрим нахождение Парето-оптимальных решений для данной многокритериальной задачи. Предположим, что требуется выбрать одну оптимальное решение из множества допустимых решений, каждое из которых определяется парой показателей (Mоi, уi). Изобразив на координатной плоскости точки с координатами (Mоi, уi), получим картинку типа изображённой на рис. 1, т.е. мы получили пространство оценок. Левая часть рисунка (красные точки) значения математического ожидания мы взяли положительными, а у отрицательные значения, т.к. этот критерий (у) мы должны минимизировать. Парето-оптимальными оценками является правая верхняя граница и соответственно Парето оптимальными решениями X1, X2, X9 и X7.

В данном примере множество Парето-оптимальных решений есть X1, X2, X9, X7 и окончательный выбор оптимального решения проводится из этого множества. Как было сказано выше, здесь есть два подхода: первый подход заключается в том, что строится множество Парето-оптимальных решений и из этого множества ЛПР выбирает единственное решение на основе неформальных дополнительных соображений. Рассмотрим второй подход на основе сужения множества Парето-оптимальных альтернатив.

1. Выбор главного критерия и назначение нижних границ по остальным критериям. Назначим нижнюю границу по критерию M и минимизировать критерий у. В качестве нижней границы критерия M возьмём значение M4 (см. рис. 1), то оптимальным будет решение X2, так среди решений удовлетворяющих условию Mi? M4, она наименее рискованна.
2. Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение критериев по важности. Пусть, например, M - важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию M имеет единственное решение X7, то оно и является оптимальным. Здесь наглядно проявляется недостаток метода лексикографической оптимизации: учёт одного (важнейшего) критерия. Этот недостаток связан с необходимостью введения жесткого приоритета критериев и может быть снят за счёт ослабления "жесткости" приоритетов. В этом случае используют метод последовательных уступок (метод смены цели), который был рассмотрен выше.

Например, в нашем случае в качестве уступки по критерию M величину Д, указанную на рис. 1. Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы X7, X8, X9. Среди них наилучшей по второму критерию будет X9. Таким образом, несколько снизив требования по критерию M, мы значительно улучшили оценку по критерию у (т.е. некоторое уменьшение ожидаемого выигрыша привело к существенному снижению риска).

Рис. 1.

Рассмотрим применение обобщенного критерия для нашей задачи. Возьмём в качестве обобщённого критерия функцию вида:

f(M, у)= M-лЧу, (1)

где л - некоторая постоянная величина. Фактически критерий (1) представляет аддитивный критерий оптимальности частных критериев M, у с весовыми коэффициентами 1 и - л. При л>0 оценка случайной величины с помощью аддитивного критерия (1) меньше, чем её среднее значение, что характерно для осторожного человека, т.е. человека не склонного к риску. Напротив, при л<0 оценка (1) выше, чем среднее значение, что характеризует человека, склонного к риску. Наконец, при л=0 оценка случайной величины совпадает с её средним значением (т.е. возможные отклонения случайной величины от её среднего значения игнорируются) - это характеризует человека, безразличного к риску.

Содержательный смысл аддитивного критерия (1) при л>0 состоит в том, что увеличение критерия f(M, у) может происходить как за счёт увеличения M, так и за счёт уменьшения у. Таким образом, для человека, не склонного к риску, критерий (1) отражает стремление к увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом показатель л характеризует субъективное отношение принимающего решение к риску. Следовательно, л можно рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску (субъективный показатель осторожности).

Выбор варианта производимого товара. Фирма может выпускать продукцию из следующих шести видов: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т) и (Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето - дождливым, жарким или умеренным, и определяется таблицей 6. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды в условиях неопределённости, и её решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о поведении среды. Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого и умеренного лета, то указанная задача становится задачей принятия в условиях риска. В рассматриваемой случае необходимая информация может быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда получаем задачу принятия решения в условиях риска, заданную таблицей 7.

Таблица 6.

Найдём ожидаемые выигрыши, соответствующие решениям З, К, П, С, Т, Ш. Имеем:

МЗ=0.2Ч80+0.5Ч60+0.3Ч40=58,

Мк=0.2Ч70+0.5Ч40+0.3Ч80=58,

МП=0.2Ч70+0.5Ч50+0.3Ч60=57,

МС=0.2Ч50+0.5Ч50+0.3Ч70=56,

МТ=0.2Ч75+0.5Ч50+0.3Ч50=55,

DоЗ=196, DоК=336, DоП=61, DоС=84, DоТ=100, DоШ=231.5. Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:

уЗ=14.0, уК=18.3, уП=7.8, уС=9.2, уТ=10.0, уШ=15.2.

Составим таблицу значений критериев M и у для каждой альтернативы (таблица 8)

таблица 8

Критерии

Представим рассматриваемые решения точками на координатной плоскости переменных M и у, получим рис. 2, из которого Парето-оптимальные решения З, П, Ш. Окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производиться из этого множества.

Сужение Парето-оптимального множества (в идеале - до одного элемента) может быть произведено только при наличии дополнительной информации о соотношении критериев M и у. Как было сказано выше, это можно сделать методом главного критерия, методом последовательных уступок или с использованием лексикографического критерия.

Обзор критериев принятия решения в условиях риска

Критерий произведений

Правило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

· вероятности появления состояния Bj неизвестны;
· с появлением каждого из состояний Bj по отдельности необходимо считаться;
· критерий применим и при малом числе реализаций решения;
· некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все aij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг aij+а с некоторой константой а> . Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Предыдущая Главная Следующая

Принятие решения в условиях риска с возможностью проведения эксперимента

При принятии решения в условиях неопределённости (или в условиях риска) принципиальная сложность выбора решения возникает из-за незнания ЛПР истинного состояния среды. В предыдущих лекциях рассмотрено несколько критериев, каждый из которых по-своему "борется" с неопределённостью: с помощью выдвижения гипотезы о поведении среды (критерий Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа); с помощью усреднения получаемых выигрышей (критерий Байеса-Лапласа или критерий ожидаемого выигрыша); с помощью учёта как ожидаемого выигрыша, так и меры отклонения от него. Однако, каждый из этих подходов даёт лишь способ рационального анализа неопределённости, не устраняя самой неопределённости. Устранение или хотя бы уменьшение неопределённости может быть произведено только на основе уточнения истинного состояния среды.

На практике такое уточнение осуществляется, как правило, с помощью сбора дополнительной информации, а также с помощью проведения экспериментов, по результатам которых судят об имеющемся состоянии среды. Например, прежде чем приступить к лечению больного при неясном диагнозе, врач проводит дополнительные анализы; прежде чем бурить дорогостоящую нефтяную скважину, геолог производит сейсморазведку; прежде чем наладить производство какого-либо товара, предприниматель изготавливает пробную партию этого товара и т.д. В рамках теории принятия решений все эти действия означают не что иное, как проведение эксперимента с целью уточнения состояния среды.

Эксперимент называется идеальным, если по его результатам ЛПР узнаёт истинное состояние среды. На практике наличие идеального эксперимента - явление довольно редкое. Чаще всего результат эксперимента даёт некоторую информацию, на основе которой может быть произведено уточнение среды.

Как использовать результаты эксперимента и имеющиеся статистические данные при принятии решений наиболее эффективно? Одна из методик, позволяющая решить эту проблему основана на формуле Байеса - формула переоценки вероятностей событий с учётом результата проведённого эксперимента.

Отметим, что не для всякой задачи принятия решения эксперимент является возможным. Если для некоторой задачи эксперимент возможен, то возникает задача оценки целесообразности его проведения. Дело в том, что проведение эксперимента всегда требует затрат (материальных, организационных, временных и пр.).

В книге [Розен] показано, что идеальный эксперимент является выгодным тогда и только тогда, когда его стоимость меньше минимального ожидаемого риска:

где rij - риски, C - стоимость эксперимента.

Для изложения байесовского подхода к переоценке вероятностей напомним некоторые понятия из теории вероятностей.

Условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, обозначается P(A/B) и вычисляется по формуле

Рассмотрим следующую теоретико-вероятностную схему. Пусть B1, B2, …, Bm - полная группа событий и для каждого события Bj, j= известна её вероятность P(Bj). Пусть произведён опыт, в результате которого произошло событие A. Если известны условные вероятности P(A/Bj) для всех j=, тогда условная вероятность (послеопытная) вероятность события Bj (j=,) может быть найдена по формуле Байеса

Рассмотрим теперь в схематической форме задачу принятия решения в условиях риска, заданную с помощью матрицы выигрышей, которая имеет вид табл.

Таблица 1. Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

	Состояния среды

Здесь B1, B2, …, Bm - состояния среды, aij - выигрыш игрока в ситуации, когда он выбирает стратегию Xi, а среда принимает состояние Bj. ЛПР известна вероятность P(Bj)= qj наступления состояния Bj, причём P(Bj)?0 и. Предполагается, что среда может находиться в одном и только в одном из состояний B1, B2, …, Bm. Другими словами, случайные события B1, B2, …, Bm образуют полную группу событий, поэтому их можно взять в качестве гипотез. Известные ЛПР вероятности состояний среды P(Bj) (j=) являются безусловными (доопытными, априорными) вероятностями.

Предположим, что проводится некоторый эксперимент, результат которого как-то зависит от имеющегося состояния среды. Если в результате эксперимента наблюдается событие A и, кроме того, известны условные вероятности P(A/Bj) для всех j=, то используя формулу Байеса, можно найти послеопытные (апостериорные) вероятности каждого состояния среды. Знание уточненных вероятностей состояний среды позволяет более точно указать стратегию ЛПР.

Описанный подход к принятию решений в условиях риска называется байесовским, так как он основан на формуле Байеса. Этот подход иллюстрируется примером, рассмотренным ниже.

Задача. Бурение нефтяной скважины.

Руководитель поисковой группы должен принять решение: бурить нефтяную скважину или нет. Скважина может оказаться "сухой" (С), т.е. без нефти, "маломощной" (М), т.е. с малым содержанием нефти, и "богатой" (Б), т.е. с большим содержанием нефти. Альтернативами руководителя группы являются: x1 - бурить и x2 - не бурить. Чистая прибыль при выборе одной из альтернатив в зависимости от возможного типа скважины приведена в таблице прибылей (см. табл. 1)

Таблица 1. Платёжная матрица

Тип скважины

Кроме того, руководителю поисковой группы известно, что в данной местности вероятности сухой, маломощной или богатой скважины таковы: P(C)=0.5, P(M)=0.3, P(Б)=0.2.

Руководитель поисковой группы может провести эксперимент с целью уточнения структуры грунта (состояния среды). Этот эксперимент представляет собой сейсморазведку, результатом которой будет ответ - какова структура грунта в данной местности (но не ответ на вопрос о типе скважины!). В принципе структура грунта может быть либо открытой (О), либо замкнутой (З). Руководитель группы имеет таблицу результатов экспериментов, приведённой в этой местности (см. табл. 2).

Таблица 2. Таблица экспериментальных данных

Эта таблица показывает, сколько раз на грунтах открытой и грунтах замкнутой структуры встречались скважины типа С, М, Б (т.е. даёт совместную статистику грунта и типа скважин для данной местности).

Проведём анализ экспериментальных данных полученной таблицы. Предположим, что произведено n экспериментов, результаты которых являются значениями дискретных случайных величин X (тип скважины) и Y (структура грунта), которые принимают соответственно значения С, М, Б и О, З. Обозначим через n11 число экспериментов, в которых X=С и Y=О, через n12 число экспериментов, в которых X=С и Y=З, через n21 число экспериментов, в которых X=М и Y=О и т.д. В нашем случае n=100, n11=45, n12=5, n21=11. Разделив значения таблицы 2 на 100 (на число проведённых экспериментов), мы получим закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) заданной в табличной форме (см. табл. 3).

Таблица 3. Статистический ряд распределения двумерной с.в. (X, Y)

Из таблицы 3 следует, что Р(X=C)=P(C)=0.5, Р(X=M)=P(M)=0.3, Р(X=Б)=P(Б)=0.2; Р(Y=O)=P(O)=0.6, Р(Y=З)=P(З)=0.4,

Итак, руководитель группы должен принять решение:

· проводить ли эксперимент (его стоимость составляет 10 единиц);
· если проводить, то, как поступать в дальнейшем в зависимости от результатов эксперимента.

Таким образом, получена многошаговая задача принятия решений в условиях риска. Опишем методику нахождения оптимального решения.

Шаг 1. Построим дерево (рис. 1), на котором указаны все этапы процесса принятия решений - дерево решений. Ветви дерева соответствуют возможным альтернативам, а вершины - возникающим ситуациям. Альтернативами руководителя поисковой группы являются: б - отказ от эксперимента, в - проведение эксперимента, x1 - бурить, x2 - не бурить. Состояния природы: выбор типа скважины (С, М, Б), а также выбор структуры грунта (О, З).

Построенное дерево определяет игру руководителя группы с природой. Позициями данной игры служат вершины дерева, а ходами игроков - выбираемые ими решения. Позиции, в которых ход делает руководитель группы, изображены прямоугольником; позиции, в которых ход делает природа, - кружком.

Игра протекает следующим образом. В начальной позиции ход делает руководитель группы. Он должен принять решение - отказаться от эксперимента (выбрать решение б) или проводить эксперимент (выбрать решение в). Если он отказался от эксперимента, то игра переходит в следующую позицию, в которой руководитель группы должен принять решение: бурить (выбрать альтернативу x1) или не бурить (выбрать альтернативу x2). Если же он решает проводить эксперимент, то игра переходит в позицию, в которой ход делает природа, выбирая одно из состояний О или З, соответствующих возможным результатам эксперимента, и т. д. Игра заканчивается тогда, когда она переходит в окончательную позицию (т.е. вершину дерева, для которой нет исходящих из неё ветвей)

Шаг 2. Для каждого решения, которое является ходом природы (т.е. исходит из позиции, изображённой кружком), надо найти вероятность этого хода. Для этого поступаем следующим образом. Для каждой позиции дерева существует единственный путь, соединяющий эту позицию с начальной позицией. Если это для позиции природы, путь, соединяющий её с с начальной позицией, не проходит через позицию (Э), означающую проведение эксперимента, то вероятности состояний Р(С), Р(М) и Р(Б) являются безусловными (доопытными) и находятся из табл. 3:

Р(С)=50/100, Р(М)=30/100, Р(Б)=20/100.

Если же для позиции природы путь, соединяющий её с начальной позицией, проходит через позицию (Э), то вероятности состояний среды становятся условными вероятностями и находятся по формулам (1), используя данные табл. 3:

В позиции (Э) вероятности ходов, приводящих к позициям (О) и (З), находятся из таблицы 3: Р(О)=0.6, Р(З)=0.4.

Рис. 1.

Шаг 3. Произведём оценку всех позиций дерева игры, "спускаясь" от конечных позиций к начальной. Оценкой позиции служит ожидаемый выигрыш в этой позиции. Оценки конечных позиций находим из таблицы 2. Укажем теперь способ нахождения оценки произвольной позиции дерева игры в предположении, что уже найдены оценки всех следующих за ней позиций.

Для позиции природы её оценка представляет собой ожидаемый выигрыш (см. рис 2);

Для позиции игрока оценкой служит максимум всех за ней позиций. Мотив: в "своей" позиции игрок может сделать любой ход, поэтому он выберет тот, который приводит к наибольшему возможному выигрышу (см. рис 3). В каждой позиции игрок помечает черточкой ту ветвь дерева, которая приводит к позиции, имеющей максимальную оценку.

Обратимся к рис. 1. Получаем, что в начальной позиции ожидаемая прибыль без проведения эксперимента (альтернатива б) - 20 единиц; ожидаемая прибыль с проведением эксперимента (альтернатива в) - 28 единиц. Таким образом, целесообразным является решение - проводить эксперимент (сейсморазведку). Далее, если эксперимент покажет, что грунт открытый, то бурение производить не следует, а если замкнутый, то нужно бурить.

1 - ветвь: =20
2 - ветвь: 0

3 - ветвь:= -30
4 - ветвь: 0

5 - ветвь: =95
6 - ветвь: 0

Как следует из условия задачи, значение в 95 единиц мы можем получить с вероятностью 0.4. Следовательно, ожидаемый выигрыш будет равен 0.4*95=38 единицам. Вычитаем расходы на проведение эксперимента равное 10 единицам.

В итоге получим 28 единиц.

Деревья решений иерархически представляют собой логическую структуру принятия решений, и облегчает тем самым понимание задачи и процесс её решения. В отличие от матрицы решений здесь можно видеть временной ход процесса принятия решения. Дерево решений нельзя, однако, в общем случае представить простой матрицей решений; так могут быть представлены лишь отдельные этапы процесса. Разбиение на этапы производят так, чтобы выбор решения начинался с некоторого узла решений, от которого исходят одна или несколько ветвей, представляющих варианты решений. Далее следуют узлы событий и на конце - листья", представляющие конечные состояния с указанием значений соответствующих выходных параметров. Если же за узлами событий следует опять узел решений с соответствующими действиями, тогда это и всё последующие разветвления относятся к более поздней стадии выбора решения.. Таким образом, можно проследить весь путь с начала до конца дерева решений.

В дереве решений различают узлы событий и узлы решений. Можно себе представить, что в узлах событий выбор дальнейшего пути определяется внешними условиями (природой, в теории игр противником), а в узлах решений - лицом, принимающим решение.

Деревья решений легко поддаются модификации: при необходимости их можно дополнительно развить, а в случаях, когда какие-либо ветви практически лишены значения, - соответственно уменьшить. Узлы решений, если они связаны с одним действием и не разделены узлами событий могут быть объединены. То же справедливо и для узлов событий.

Задание . Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса П j , j=1,4 (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A 1 , А 2 , А 3 . Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.


	П 1	П 2	П 3	П 4
А 1	30 +N	10	20	25 + N/2
А 2	50	70 - N	10 + N/2	25
А 3	25 – N/2	35	40	60 - N/2

где N=3
Известны возможные состояния покупательского спроса, которые соответственно q 1 =0,3, q 2 =0,2, q 3 =0,4, q 4 =0,1. Необходимо найти стратегию сбыта, максимизирующую средний товарооборот фирмы. При этом использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Байеса.

Решение находим с помощью калькулятора .
Критерий Байеса .
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i , при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0.3 + 10 0.2 + 20 0.4 + 26.5 0.1 = 22.55
∑(a 2,j p j) = 50 0.3 + 67 0.2 + 11.5 0.4 + 25 0.1 = 35.5
∑(a 3,j p j) = 23.5 0.3 + 35 0.2 + 40 0.4 + 58.5 0.1 = 35.9

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij p j)
A 1	9.9	2	8	2.65	22.55
A 2	15	13.4	4.6	2.5	35.5
A 3	7.05	7	16	5.85	35.9
p j	0.3	0.2	0.4	0.1

Критерий Лапласа .
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
q i = 1/4

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij)
A 1	8.25	2.5	5	6.63	22.38
A 2	12.5	16.75	2.88	6.25	38.38
A 3	5.88	8.75	10	14.63	39.25
p j	0.25	0.25	0.25	0.25

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Вальда .
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10
A 2	50	67	11.5	25	11.5
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 50 - 33 = 17; r 21 = 50 - 50 = 0; r 31 = 50 - 23.5 = 26.5;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 67 - 10 = 57; r 22 = 67 - 67 = 0; r 32 = 67 - 35 = 32;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 40 - 20 = 20; r 23 = 40 - 11.5 = 28.5; r 33 = 40 - 40 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 58.5 - 26.5 = 32; r 24 = 58.5 - 25 = 33.5; r 34 = 58.5 - 58.5 = 0;

A i	П 1	П 2	П 3	П 4
A 1	17	57	20	32
A 2	0	0	28.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	max(a ij)
A 1	17	57	20	32	57
A 2	0	0	28.5	33.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0	32

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 10+(1-0.5) 33 = 21.5
s 2 = 0.5 11.5+(1-0.5) 67 = 39.25
s 3 = 0.5 23.5+(1-0.5) 58.5 = 41

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)	max(a ij)	y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10	33	21.5
A 2	50	67	11.5	25	11.5	67	39.25
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5	58.5	41

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 3 .

Руководство компании принимает решение о размещении производства нового продукта в некотором месте. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке нового продукта на момент освоения производства, ему необходимо учесть затраты на доставку готовой продукции до потребителя, развитость транспортной и социальной инфраструктуры региона, конкуренцию на рынке, соотношение спроса и предложения, курсы валют и многое другое. Возможные варианты решений, инвестиционная привлекательность которых определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, представлены в таблице.
Выбрать:
1) место для размещения производства, если руководитель предприятия уверен в том, что на рынке сложится ситуация 4;
2) место для размещения производства, если руководство оценивает вероятность ситуации 1 в 0,2; ситуации 2 в 0,1; ситуации 3 в 0,25;
3) провести выбор варианта в условиях неопределенности по критерию: максимакс, максимин, критерий Лапласа, критерий Сэведжа, критерий Гурвица (y = 0,3);
4) изменится ли наилучший вариант решения по критерию Гурвица если величину a увеличить до 0,5?
5) предположив, что данные таблицы представляют затраты предприятия, определить выбор, который сделает предприятие при использовании каждого из следующих критериев: максимин; максимакс; критерий Гурвица(? = 0,3); критерий Сэведжа; критерий Лапласа

Настольная книга по внутреннему аудиту. Риски и бизнес-процессы Крышкин Олег

Формирование матриц рисков и контрольных процедур

Ключевой целью формирования матрицы является соотнесение рисков, влияющих на деятельность объекта аудита, с системой внутреннего контроля бизнес-процессов этого объекта. В результате выявляются провалы в системе внутреннего контроля объекта аудита. Они возникают тогда, когда система внутреннего контроля упускает из виду конкретные риски. В таком случае возможны три ситуации:

1. В системе внутреннего контроля отсутствуют контрольные процедуры, направленные на оптимальное нивелирование параметров конкретного риска, например, выбор поставщика без проведения тендера приводит во многих ситуациях к выбору неоптимального поставщика.

2. Контроль воздействует на риск, однако оптимального нивелирования не достигается, например, процедура тендера вроде есть, но пул участников формируется дирекцией по закупкам, при этом база поставщиков не ведется. В этом случае также довольно часто выбирается неоптимальный поставщик.

3. Контроль способен оптимально нивелировать параметры риска, однако в силу различных причин этого не происходит, например, процедура тендера идеальна по своей структуре и содержанию. Однако для ее ускорения могут форсироваться те или иные этапы (например, сокращаться сроки приема коммерческих предложений без извещения всех потенциальных поставщиков), что в конечном итоге приводит к выбору неоптимального поставщика.

На этапе планирования матрица составляется для того, чтобы получить общую картину по управлению ключевыми рисками процесса. Кроме того, наличие матрицы позволяет оптимально распределять ресурсы и выстраивать правильную последовательность приоритетов.

В базовом варианте матрицы имеется четыре раздела – «Процесс», «Риск», «Цель контроля» и «Контроль». Информация из одного раздела увязывается с информацией из других трех разделов. По этой причине наиболее распространенным форматом матрицы рисков и контрольных процедур является таблица. Рассмотрим кратко содержание каждого раздела.

1. Раздел «Процесс». Здесь указывается процесс, который в остальных трех разделах анализируется на предмет рисков и контрольных процедур. В зависимости от детализации матрицы вместо процесса может указываться подпроцесс или даже этап подпроцесса.

2. Раздел «Риск». Здесь указывается риск, который негативно влияет на достижение целей рассматриваемого процесса. По каждому из процессов (подпроцессов, этапов подпроцесса), включенных в матрицу, может быть более одного риска. Максимальное количество рисков не ограничено. Однако при формировании перечня рисков не стоит увлекаться количеством ради количества. Необходимо придерживаться практического подхода и указывать только те риски, которые действительно могут встретиться в реальности, исходя из данных предварительного анализа процесса.

3. Раздел «Цель контроля». Существуют различные подходы к заполнению данного раздела. Во-первых, можно привести расширенную формулировку цели контроля (см. пример в табл. 10). С одной стороны, она может способствовать более точному пониманию того, каким должен быть контроль. Например, в нашем случае указывается конкретное действие, которое должно произойти в результате выполнения контрольной процедуры, – прерывание процесса «Формирование потребности в материалах для закупки». С другой стороны, существенным минусом расширенной формулировки является утрата унификации и универсальности. При использовании расширенной формулировки необходимо иметь детальное представление о структуре и содержании процесса, например, в одном случае целью контроля может быть прерывание процесса, а в другом – уведомление о возникшей ситуации для принятия точечного решения. Так или иначе, в большинстве случаев на этапе планирования не предполагается, что команда внутренних аудиторов обладает таким детальным представлением. Кроме того, как бы странно это ни звучало, но нередко выбор расширенной формулировки – это дело вкуса, а вкус – понятие субъективное, например, разные люди могут по-разному понимать слово «прервать» (например, запретить или потребовать дополнительного согласования). Также разные люди склонны использовать разную лексику для обозначения одних и тех же явлений и действий. Все эти факторы могут вносить дополнительный сумбур в понимание информации, изложенной в матрице рисков и контрольных процедур. В то же время в качестве целей контроля можно использовать определенную терминологию. Один из ее вариантов представлен в главе 3. В ней описываются семь ключевых целей контроля. Если использовать предлагаемую терминологию, то цель контроля будет иметь иную формулировку (см. табл. 11). Она обозначается не каким-либо действием, а некой качественной характеристикой, которую контрольная процедура должна достичь. Таким образом, обеспечивается унификация и отсутствие привязки к конкретному содержанию контрольной процедуры, которое неизвестно на этапе планирования проекта. Кроме того, использование унифицированных целей контроля позволяет быстрее и правильнее оценить, насколько конкретная контрольная процедура достигает цели.

Таблица 10. Пример расширенной формулировки цели контроля

4. Раздел «Контроль». В большинстве случаев суть контроля заключается в осуществлении того или иного действия, которое направлено на достижение цели контроля. Отсюда широко используется термин «контрольная процедура», который лишний раз подчеркивает направленность контроля на создание активности. Разумеется, на этапе планирования формулировки многих контрольных процедур могут выглядеть обобщенно. Необходимо иметь в виду, что крайне важно уточнять содержание и структуру контрольных процедур в процессе работы по проекту – детализация процесса и контрольных процедур процесса должны быть сопоставимыми. Кроме того, раздел «Контроль» можно разбить на два подраздела. В первом указывается оптимальный контроль (исходя из предполагаемого содержания и структуры процесса), а во втором – фактический контроль (исходя из имеющегося на этапе планирования представления о фактическом содержании и структуре процесса). Если есть подозрение отсутствия контроля на том или ином этапе подпроцесса, информация по фактическому контролю не заносится. Такие случаи подлежат уточнению по мере выполнения проекта.

Таким образом, на этапе планирования матрица рисков и контрольных процедур в базовом варианте представляет собой таблицу, состоящую из четырех разделов. В ряде случаев раздел «Контроль» может быть разбит на два подраздела. В дальнейшем, в процессе выполнения проекта внутреннего аудита матрица уточняется и обрастает новыми графами. Более подробно мы рассмотрим этот процесс в разделе «Документирование работы внутреннего аудита» главы 9.

Из книги Контроль и ревизия: конспект лекций автора Иванова Елена Леонидовна

ЛЕКЦИЯ № 4. Виды аналитических процедур Экономические и политические преобразования в Российской Федерации в начале 1990-х гг. привели к существенной перестройке системы контрольных органов народного контроля, в связи с новой политической властью во главе с президентом

Из книги Контроль и ревизия автора Иванова Елена Леонидовна

16. Виды аналитических процедур Экономические и политические преобразования в Российской Федерации в начале 1990-х гг. привели к существенной перестройке системы контрольных органов народного контроля, в связи с новой политической властью во главе с президентом возник

Из книги Залоговик. Все о банковских залогах от первого лица автора Вольхин Николай

2.3.1. Инструменты выявления и анализа залоговых процедур Начнем с конца. Итогом применения инструментов процессного подхода в залоговой работе будет нормативный документ, пошагово регламентирующий эффективную залоговую процедуру. Не совсем логично начинать с конца,

Из книги Настольная книга по внутреннему аудиту. Риски и бизнес-процессы автора Крышкин Олег

Подпроцесс «Формирование потребности в ТМЦ/работах/услугах и формирование заявок» Данный подпроцесс включает в себя четыре основных этапа: формирование потребности в ТМЦ/работах/услугах; подготовка и оформление заявки заказчиком, согласование заявки на

Из книги Международные стандарты аудита: Шпаргалка автора Автор неизвестен

38. ПОЛУЧЕНИЕ АУДИТОРСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ С ПОМОЩЬЮ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕДУР Аналитические процедуры – это анализ коэффициентов и тенденций, имеющих важное значение при оценке финансового состояния субъекта, включая последующее изучение их колебаний и взаимосвязей, если

Из книги Основы кибернетики предприятия автора Форрестер Джей

3. 3. Модели для контрольных опытов Математические модели позволяют ставить контрольные опыты. Таким путем можно проверять результаты различных допущений и влияния внешних факторов. В отличие от реальной системы модель позволяет наблюдать результаты изменения одного

Из книги Антикризисное управление автора Бабушкина Елена

21. Виды и порядок осуществления реорганизационных процедур Внешнее управление имуществом должника осуществляется с помощью арбитражного управляющего. В его полномочия входят меры по восстановлению платежеспособности предприятия-должника и дальнейшему

Из книги Финансовый анализ автора Бочаров Владимир Владимирович

3.1. Характеристика анааитических процедур В состав аналитических процедур входит двухмодельная структура:1) экспресс-анализ финансово-хозяйственной деятельности;2) углубленный финансовый анализ.Детализация процедурной стороны финансового анализа зависит от его

Из книги Аудит. Шпаргалки автора Самсонов Николай Александрович

56. Виды аналитических процедур Можно выделить экспресс-анализ и детализированный анализ финансового состояния.При экспресс-анализе дают оценку экономического потенциала предприятия (имущественное, финансовое положение, наличие «больных» статей в отчетности) и

Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья

78. Метод контрольных вопросов и банк идей При методе контрольных вопросов предполагается использование документа табличной формы, содержащего в каждой строке вопрос (параметр) и варианты ответов (значения параметров) по определенному аспекту анализа.Аналитик, отвечая

Из книги Планирование продаж и операций: Практическое руководство автора Уоллас Томас

Использование контрольных диаграмм Объемное планирование продаж и операций является достаточно «интенсивным по данным» процессом. Использование контрольных диаграмм необходимо не только в случаях, подобных тому, который мы сейчас рассмотрели. Использование

Из книги Путеводитель по методологии Организации, Руководства и Управления автора Щедровицкий Георгий Петрович

Объект как схема процедур работы с ним Еще раз, это очень важно: изображение объекта всегда, в любом случае, какую бы категорию мы ни брали, есть схема наших процедур, прилагаемых к этому объекту. Любая схема, любое изображение объекта есть не что иное, как схема процедур,

Из книги Прибыльная парикмахерская. Советы владельцам и управляющим автора Белешко Дмитрий Сергеевич

Контролируйте сроки обязательных процедур В парикмахерской есть услуги, о которых можно и нужно напоминать клиентам. Это простой, но эффективный инструмент для удержания клиента. Тем не менее его используют нечасто.Помните, мы говорили, что для вашего контакта с

Из книги Выход из кризиса. Новая парадигма управления людьми, системами и процессами автора Деминг Уильям Эдвардс

Два основных способа использования контрольных карт 1. Для выработки суждения. Находился ли процесс (в прошлом) в статистически управляемом состоянии? Чтобы понять это, мы смотрим на контрольную карту. Если ответ утвердительный, тогда мы знаем распределение

Из книги Предпринимательское право автора Смагина И А

Фонд контрольных заданий Тема 1. Предмет, метод и принципы российского предпринимательского права I.Тесты. Из предложенных вариантов выберете один правильный ответ.Российское предпринимательское право является:А. Базовой отраслью праваБ. Комплексной отраслью праваВ.

Из книги Прибыльная стоматология. Советы владельцам и управляющим автора Бородин Константин

Контролируйте сроки обязательных процедур Специфика стоматологической сферы заключается в том, что люди к вам ходят регулярно. О том, что стоматолога нужно посещать дважды в год, нам твердят с детского сада. Поэтому ваша задача как руководителя стоматологии – сделать

Матрица риска представляет собой специальную систему, которая позволяет с достаточно большой долей правдивости определять вероятность возникновения рисков на предприятии в той или иной сфере его деятельности. Она очень полезна при планировании, рассмотрении потенциально выгодных проектов и тому подобных элементов работы любой организации. Чтобы максимально точно понимать все особенности этого инструмента, необходимо понимать всю систему планирования, как она осуществляется, зачем нужна, на что ориентируется и как действует в тех или иных обстоятельствах. Понимание только одного из указанных элементов не сможет дать полной картины, так как именно в этом случае важным является сбор всей информации и ее обобщение в единую форму. Только она сможет показать ситуацию наиболее реалистично в разрезе тех или иных событий, ситуаций, происшествий и тому подобного.

Что такое проектный риск

Проектный риск — это некое событие, которое теоретически может произойти. В подавляющем большинстве случаев оно приведет к определенным проблемам в работе предприятия. К примеру, могут не быть выполнены сроки поставок товара, увеличиться его стоимость, пропадет партия, уплаченные деньги обесценятся и так далее. Характеристика риска включает в себя некий перечень элементов, которые важны для дальнейшего анализа. Каждый из них имеет четкий источник или причину возникновения. Кроме того, есть у них и определенные последствия, в ряде случаев особо критичные, в иных ситуациях не очень значительные. Как правило, все подобные ситуации рассматриваются неоднократно на всем протяжении реализации того или иного проекта. Нужно учитывать, что существует вероятность того, что возникновение рисков будет абсолютно невозможно предсказать. Самым простым примером подобного можно считать внезапно начавшиеся боевые действия, теракты и так далее. Естественно, предугадать их невозможно, потому, если хотя бы малейшая вероятность подобного существует, многие компании автоматически закладывают некую сумму в резерв. Это помогает более адекватно и с минимальными потерями среагировать на нестандартные условия, что в итоге будет на руку как одной стороне договоренностей, так и другой.

Что такое матрица риска

Ее ещё называют картой рисков, так как она похожа на сетку, на которой присутствует определенная информация обо всех вероятных проблемах. Они могут как существовать на момент составления, так и быть прогнозируемыми. Разделяется матрица риска по трем основным категориями: уровням, вероятности и последствиям. О каждом из этих пунктов будет более детально рассказано ниже. Данный инструмент оценки возможных проблем во многих компаниях является основным источником информации, которая принимается во внимание во время рассмотрения возможности реализации того или иного проекта. Как правило, на основании всего указанного в карте-матрице, руководство имеет возможность выдать максимально эффективное и разумное решение, способное устроить обе стороны контракта. То есть, сотрудники компании, ответственные за данный инструмент, обязаны относиться к собственной работе максимально ответственно, ведь их данные будут влиять на все развитие предприятия, получение им доходов и так далее. В то же время, если какие-то показатели будут сознательно занижены и неблагоприятное событие приведет к значительным убыткам, они также будут нести ответственность, при условии, что все это действительно можно было спрогнозировать.

Разделение рисков по уровням

Все проблемы имеют определенный уровень риска. Так, выделяют 4 основных разновидности: низкий, умеренный, высокий и экстремальный. Самый первый вид подразумевает практически полное отсутствие действий, особенно если все необходимые инструкции были отданы заранее. Как правило, достаточно провести обычную контрольную проверку, убедившись в том, что сотрудники действительно понимают ситуацию и знают, как на нее реагировать. Второй, умеренный уровень уже более сложен. Обычно для того, чтобы с ним справиться, достаточно знаний руководителя определенного подразделения. Необходимо удостовериться, что он понимает суть проблемы и готов нести ответственность в случае неудачи. Этого бывает достаточно для того, чтобы ситуация разрешилась лучшим образом без особых усилий. Возникновение рисков высокого уровня — это действительно уже очень важно, и требуется незамедлительно привлечь внимание высшего руководства к возникшей проблеме. Начальники между собой смогут быстро договориться и принять правильное решение, способное привести к минимизации потерь. Самый последний, экстремальный уровень подразумевает, что действовать нужно прямо сейчас, без всяких совещаний, переговоров и тому подобного.

Разделение рисков по вероятностям

Определение риска также осуществляется по типу вероятности его появления. Выделяют пять видов: A, B, C, D и E. Категория E — это та разновидность рисков, которые возникают крайне редко. Для этого должны быть выполнены определенные условия, и шанс на подобное учитывается как наименее вероятный. Группа D относится к тем типам ситуаций, которые вряд ли произойдут. То есть сюда включается все, что в теории возможно, но на практике бывает крайне редко. Следующая категория — C. Это уже риски, которые, вполне вероятно, возникнут, так как подобное случается с некоторой регулярностью, поддающейся примерному определению. Предпоследней группой считается B. Она включает в себя ситуации, которые чаще происходят, чем не происходят. Расчет рисков категории А очень прост. Можно давать практически 100% вероятность, что проблема возникнет. В соответствии с определенной частотой появления, компания получит возможность правильным образом реагировать, превентивно устраняя возможные проблемы или, если это невозможно, заранее учитывая последствия от их возникновения.

Разделение рисков по последствиям

Риск и неопределенность возможных событий также должны рассматриваться и в том плане, насколько критичными они могут быть для компании. Существует несколько базовых категорий последствий, в свою очередь, разделяющихся ещё на три группы: по вреду для здоровья, по расходам и требуемым усилиям.

Таблица последствий:

Последствия	Вред здоровью	Расходы	Усилия
Катастрофичные	Погибшие		Критичная посторонняя помощь
Существенные	Много пострадавших	Серьезные	Серьезная посторонняя помощь
	Серьезная медпомощь		С посторонней помощью
Небольшие	Первая помощь		Самостоятельно
Незначительные			Самостоятельно

Детальное описание тут излишне, так как все основное понятно из таблицы. Можно только привести несколько примеров. Самыми незначительными проблемами можно считать случайную поломку не слишком нужного оборудования, которое может быть быстро и с минимальными затратами времени и средств заменено на другое. Никаких жертв тут нет, стоимость работ невелика и персонал может выполнить все, что нужно, собственноручно. А вот самый серьезный пример, при котором эта характеристика риска доходит до показателя «катастрофичный», - это уже глобальная в которой погибло множество сотрудников и других лиц, никак к предприятию не относящихся. Естественно, расходы в такой ситуации будут настолько невероятными, что оно, скорее всего, просто закроется.

Основные особенности

Матрица риска подразумевает предварительное и последовательное выполнение ряда определенных действий. Первым делом должна быть проведена идентификация. То есть все вероятные риски необходимо перечислить и определить. Следующий этап — оценка опасности. В рамках этого пункта ранее отобранные вероятные проблемы разбиваются по степени их угрозы для проекта, жизни, здоровья и финансов компании. После этого следует четко продумать возможные действия, которые могут быть направлены на минимизацию вреда. То есть, если можно, сделать так, чтобы проблема не возникла в принципе. Как вариант — продумать схему реакций, которые необходимо будет осуществить, если ситуация все же возникнет. Последний и самый длительный этап — контроль выполнения. Если подразумеваются действия, которые сведут риск и неопределенность к нулю или минимуму, то их нужно проверить. Если же это невозможно, то нужно будет постоянно или на ключевых этапах реализации проекта проводить дополнительные проверки. Они смогут своевременно выявить возникающие проблемы.

Планирование

Именно этот процесс является основным. Он позволяет заранее продумать все возможные варианты и вероятности. Нет четко утвержденных критериев, как должен оформляться план. Каждый сотрудник выбирает для себя оптимальный вид и работает согласно собственному виденью проблемы, при условии что нет необходимости соотносить полученные на работы разрешения с другими людьми. Примерно то же самое можно сказать и о таком инструменте, как матрица риска. Пример подобного плана должен включать в себя такие элементы, как общие сведения, данные о компании, особенности и описание рассматриваемого проекта, а также те цели, которые были поставлены. Дальше идут различные разделы, которые уже более точно характеризуют план и его особенности. Сюда входит методология, организация, бюджет, регламент, отчетность, мониторинг и так далее.

Виды рисков

Все возможные проблемы имеют несколько видов потенциального контроля. Это также важно для того, чтобы успешно работала матрица риска. Формула расчетов контроля достаточно проста, с одной стороны, а с другой — требуются обширные знания, зачастую выходящие за пределы информации, доступной рядовым сотрудникам. Так, риски делятся на те, которые невозможно проконтролировать, можно сделать это частично или же доступен полный контроль. К первой категории относятся проблемы, с предприятием никак не связанные. Во вторую группа входит все, что также не касается предприятия, а также некоторые элементы, к нему относящиеся. Последняя категория включает в себя технические, юридические и иные подобные проблемы, напрямую связанные с компанией.

Факторы

Кроме всего прочего, все нестандартные ситуации имеют определенные факторы, благодаря которым характеристика риска становится более простой и понятной. Именно благодаря этим элементам, наравне с прочими остальными особенностями и факторами, планирование успешности выполнения проекта будет максимально облегчено.

Таблица факторов:

Факторы	Описание
Макроэкономика	Нестабильная экономика
Макроэкономика	Меры регулирования на уровне государства
	Раздел продукции
	Изменение правил
	Изменение в налогах
Экология	Технологическая катастрофа
Экология	Стихийное бедствие
	Террористический акт
	Забастовка
	Нестабильность в политике
	Особенности культуры или религии
Участники	Проблемы команды
Участники	Проблемы учредителей
	Ошибки в прогнозировании

	Нестабильный валютный рынок
	Недостаточное финансирование

Тут перечислены только основные элементы, которые могут дополняться или меняться, но общая их суть останется прежней. Как правило, этого достаточно для более-менее детального представления о хотя бы кратком перечне вероятных рисков. С данных факторов можно начинать работать.

Анализ и оценка рисков

Если не вдаваться в детали, а рассматривать ситуацию в целом, то можно заметить, что в оценке и нет ничего глобально сложного. Достаточно поставить ряд базовых вопросов по той или иной проблеме и сразу можно будет делать соответствующие выводы. Так, анализ и расчет рисков нужно начинать с того, можно ли управлять отдельно взятой проблемой. Если да, то нужно разрабатывать план минимизации потерь. Если нет, то нужно понять, насколько риск критичен. Если очень, то необходимо мгновенно реагировать и останавливать реализацию проекта. Если нет, то следует просто поставить руководство в известность.

Реагирование

Выше уже было сказано о том, как можно примерно оценивать и анализировать проблемы. Безусловно, информация по большей части носит общий характер, но более детально что-то можно рассматривать, только привязываясь к конкретной ситуации и компании. После того как проблема известна, она требует реакции, ведь определение риска — только начальный этап. Так, после того как есть понимание ситуации, следует выяснить, что конкретно стало причиной ее возникновения. На основе этого должна быть составлена примерная модель зависимости и влияния на проблему тех или иных факторов. В рамках нее формируется понимание того, как именно, какой момент влияет на конечный результат. Ну, а это уже дает возможность примерно оценить, какие действия необходимы для изменения исходных показателей, чтобы вероятность риска или его последствия были минимальными.

Итоги

Вся представленная выше информация позволяет сформировать базовый план, который будет охватывать большинство вероятных проблем. Он позволит более точно определять их суть, принципы, этапы возникновения, способы решения и так далее. По мере накопления опыта, сотрудник сможет развивать эту систему планирования, делая ее все более совершенной. В итоге будут учтены даже самые невероятные проблемы, что позволит компании четко понимать все риски, связанные с конкретным проектом.

Или иных методов либо их комбинации) необходимо обработать и наглядно представить для того, чтобы проводить с ними дальнейшую работу по оценке и управлению. Наиболее наглядный, простой и популярный способ – построение карты или матрицы рисков .

Самый простой вариант представления информации о рисках – составление перечня рисков в порядке убывания характеристик их важности.

Однако важность риска с точки зрения управления не определяется одним параметром, что связано с его вероятностной природой. Очевидно, что риск, который в случае реализации несет большие потери, можно считать опасным и требующим управления. Но если вероятность наступления этого риска крайне мала, то им можно и пренебречь. Соответственно и наоборот: риск с небольшим потенциальным убытком, но реализующийся очень часто, в итоге приведет к значительному суммарному ущербу. Следовательно, характеризовать каждый идентифицированный риск необходимо с помощью двух его основных параметров: вероятности реализации и величины возможного ущерба.

Отметим, что хотя последствия реализации рисков бывают не только финансовыми, но и моральными, репутационными, сопровождающимися потерей жизни и здоровья и т.д., но в экономических ситуациях принято рассматривать в качестве основных именно финансовые, материальные. Это связано с тем, что в экономической деятельности именно такого рода потери имеют наибольшее значение, а также тем, что в большинстве случаев остальные потери можно, хотя и с определенной степенью условности, выразить в стоимостном выражении.

Таким образом, каждый идентифицированный риск в случае проведения его оценки будет характеризоваться двумя величинами: вероятностью его наступления и размером убытков. Перечень рисков можно составить, расположив риски в порядке убывания одной из величин, однако общепринятым является одновременное использование обоих показателей с построением так называемых карты или матрицы рисков .

В том случае, если обе величины – вероятность реализации риска и потенциальный ущерб – имеют количественное выражение, мы можем построить карту рисков .

Карта рисков – это наглядное изображение идентифицированных рисков в виде точек на координатной плоскости, где по одной из осей (как правило, OY), отложены вероятности реализации рисков (в долях единицы или в процентах), а по другой (как правило, ОХ) – ущерб от реализации (в денежных единицах). Пример карты рисков можно видеть на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схематичное изображение карты рисков

Как видно на рисунке, риски 1 и 4 имеют одинаковую величину потенциального ущерба, однако вероятность реализации риска 1 выше. Риски же 2 и 5 имеют одинаковую вероятность реализации, при этом потенциальный ущерб выше у риска 5. Эти пары рисков можно сравнить и сказать, какой из них обладает более высоким уровнем (если за уровень риска принять пару вероятность/ущерб). Однако в отношении других рисков такое сравнение затруднительно. Так, риск 1 имеет меньший ущерб, чем риск 5, однако вероятность его реализации существенно выше.

Для того, чтобы определить, является риск приемлемым или нет, на карту рисков можно нанести границу толерантности к риску , или границу приемлемости риска (см. рис. 1). Она представляет собой кривую, так как риски с высоким ущербом даже при низкой вероятности могут считаться неприемлемыми, также как и риски с небольшим ущербом, но высокой вероятностью. Строится она на основании представлений о риск-аппетите организации , и отделяет область приемлемых рисков, то есть тех, которые организация принимает и управляет ими, от неприемлемых. Неприемлемые риски – это риски, от которых при невозможности управления ими таким образом, чтобы они в результате попали в область приемлемых рисков, организация отказывается. В зависимости от политики управления рисками и конкретной сущности рисков, от неприемлемых рисков можно отказываться и сразу, без выяснения возможностей управления ими.

Для повышения наглядности риски на карте, помимо номеров, могут обозначаться разными цветами в зависимости от их вида. Карта рисков должна обязательно снабжаться перечнем рисков.

Таким образом, карта рисков представляет собой очень наглядное и достаточно простое в построении изображение рисков предприятия или организации.

Однако в ряде случаев нет возможности измерить вероятность и ущерб в количественном выражении. Особенно это касается вероятности. Тем не менее, существует необходимость в некотором ранжировании рисков по величине вероятности их реализации. В этом случае используют качественные, атрибутивные оценки вероятности типа «весьма вероятно», «маловероятно», «невероятно» и т.д. Количество градаций качественной шкалы может быть любым. Аналогично оценивается и ущерб, например как «высокий», «средний» и «низкий». Количество градаций по шкалам вероятности и ущерба может быть как равным, так и различным.

На основе этой информации строится матрица рисков – изображение рисков в виде таблицы, где по столбцам расположены градации величины ущерба от реализации рисков, а по строкам – градации вероятностей их реализации. Сами риски при этом располагаются в клетках таблицы. Каждая клетка имеет интерпретацию с точки зрения уровня риска. Наглядно пример матрицы рисков представлен в таблице 1.

Таблица 1 – Матрица оценки рисков (пример)

В матрице рисков также можно изобразить границу толерантности к рискам, однако чаще принято клетки таблицы окрашивать в разные цвета: зеленый – низкий риск, желтый – средний риск, красный – высокий риск (чем насыщеннее красный цвет, тем выше риск). Такой вариант изображения является более наглядным.

Также клеткам таблицы могут приписываться некоторые величины (см. табл. 1), отражающие уровень риска. На основе этих величин могут производиться вычисления, например, суммарного риска. Однако эти величины носят условный, произвольный характер, как и вычисления на их основе, и считать их статистическими характеристиками нельзя.

Качественные оценки вероятности и ущерба для каждого риска могут быть получены двумя способами.

В первом случае они могут быть определены из количественных оценок, то есть являться их упрощением. Например, политикой в отношении риск-менеджмента определено, что риск с вероятностью от 0 до 0,05 является крайне низким, от 0,05 до 0,1 – низким, от 0,1 до 0,4 – средним, от 0,4 до 0,7 – высоким и от 0,7 до 1 – крайне высоким. Имея оценки вероятностей реализации идентифицированных рисков мы можем превратить карту рисков в матрицу. Аналогично и с величиной потенциального ущерба. В этом случае построение матрицы рисков может являться хотя, возможно, и более наглядным, однако менее информативным способом представления информации о рисках, чем карта рисков.

Однако чаще матрица рисков строится тогда, когда получить количественные оценки рисков не представляется возможным. Например, нельзя оценить вероятность реализации рисков ни с помощью методов теории вероятностей, ни на основании данных соответствующей статистики. В таких случаях могут использоваться так называемые субъективные вероятности, либо экспертные оценки , либо просто результаты обработки риск-интервью о том, как часто реализуются (или могут реализовываться) те или иные риски по мнению опрашиваемых лиц. Очевидно, что более достоверными в данном случае будут оценки, полученные в качественном, а не в количественном виде. В таких ситуациях использование матрицы рисков является не только наглядным и удобным, но и достаточно достоверным (в случае соблюдения правил получения качественных оценок) способом представления информации о рисках предприятия или организации.

Важно отметить, что «вероятность», используемая для составления матрицы в подобных случаях, как правило, не является вероятностью в классическом или статистическом смысле. В англоязычной литературе для ее обозначения используется термин likelihood , который можно перевести, как «правдоподобие», а в контексте рисков – как «возможность реализации рисков». Понимая при этом, что вероятность – это мера возможности реализации рисков, однако слово «возможность» скорее можно трактовать, как качественную, а не количественную характеристику.

Таким образом, карта и матрица рисков представляют собой, по сути, один и тот же способ представления информации о рисках, отличаясь друг от друга типом оценок характеристик риска.

Литература

1. Синявская Т.Г., Трегубова А.А. Управление экономическими рисками: теория, организация, методы. Учебное пособие. / Ростовский государственный экономический университет (РИНХ). – Ростов-на-Дону, 2015. – 161 с.

Контроль денег