3,4. , где I n – единичная матрица размером n xn . Так как ε - вектор-столбец, размерности n х1 , а ε Т – вектор-строка, произведение εε Т есть симметрическая матрица порядка n . Матрица ковариаций:

,

Элементы, стоящие на главной диагонали, свидетельствуют о том, что для всех i , это означает, что все имеют постоянную дисперсию . Элементы, не стоящие на главной диагонали дают нам для , так что значения попарно некоррелированы.

Основной целью множественной регрессии является построение модели с большим числом факторов и определение при этом влияния каждого из факторов в отдельности на результат, а так же определение совокупного воздействия факторов на моделированный показатель.

Спецификация модели множественной регрессии включает в себя отбор фактора и выбор вида математической функции (выбор вида уравнения регрессии). Факторы, включаемые во множественную регрессию должны быть количественно измеримы и не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи (т.е. должны в меньшей степени влиять друг на друга, а в большей степени на результативный признак).

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснять вариацию независимой переменной. Например, если строится модель с набором - факторов, то для нее находится значение показателя детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет - факторов.

Влияние других неучтенных факторов в модели оценивается как соответствующей остаточной дисперсии .

При включении в модель дополнительного фактора значение показателя детерминации должно возрастать, а значение остаточной дисперсии должно уменьшиться. Если этого не происходит, то дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним, причем введение такого фактора может привести к статистической не значимости параметров регрессии по - критерию Стьюдента.

Отбор факторов для множественной регрессии осуществляется в две стадии:

1. Подбираются факторы, исходя из сущности проблемы.

2. На основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты корреляции между объясняющими переменными , которые еще называют коэффициентами интеркорреляции, позволяют исключить из модели дублирующие факторы.

Две переменные и называют явно коллинеарными, если коэффициент корреляции .

Если переменные явно коллинеарны, то они находятся в сильной линейной зависимости.

При наличии явно коллинеарных переменных предпочтение отдается не фактору более тесно связанному с результатом, а фактору, который при этом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллениарность факторов.

При использовании множественной регрессии может возникнуть мультиколлениарность фактов, т.е. более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью. В таких случаях менее надежным становится МНК при оценке отдельных факторов, результатом чего становится затруднение интерпретации параметров множественной регрессии как характеристик действия фактора в чистом виде. Параметры линейной регрессии теряют экономический смысл, оценки параметров ненадежны, возникают большие стандартные ошибки, которые при этом могут изменяться с изменением объема наблюдений, т.е. модель становится непригодной для анализа и прогнозирования экономической ситуации. Для оценки мультиколлениарности фактора используют следующие методы:

1. Определение матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами, например, если задана линейная модель множественной регрессии , то определитель матрицы парных коэффициентов примет вид:

Если значение данного определителя равно 1

,

то факторы являются неколлинеарными между собой.

Если между факторами существует полная линейная зависимость, то все коэффициенты парной корреляции равны 1, в результате чего

.

2. Метод испытания гипотезы о независимости переменных. В этом случае нулевая гипотеза , доказано, что величина имеет приближенное распределение с числом степеней свободы .

Если , то нулевая гипотеза отклоняется.

Определяя и сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации фактора, используя в качестве зависимой переменной последовательно каждой из факторов можно определить факторы, ответственные за мультиколлениарность, т.е. фактор с наибольшим значением величины .

Существуют следующие способы преодоления сильной межфакторной корреляции:

1) исключение из модели одного или несколько данных;

2) преобразование факторов для уменьшения корреляции;

3) совмещение уравнения регрессии, которые будут отражать не только факторы, но и их взаимодействие;

4) переход уравнения приведенной формы и др.

При построении уравнения множественной регрессии одним из важнейших этапов является отбор факторов, включаемых в модель. Различные подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции к различным методам, среди которых наиболее применимы:

1) Метод исключения – производится отсев данных;

2) Метод включения – вводят дополнительный фактор;

3) Шаговый регрессионный анализ – исключают ранее введенный фактор.

При отборе факторов применяют следующее правило: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится модель.

Параметр не подлежит экономической интерпретации. В степенной модели нелинейное уравнение множественной регрессии коэффициенты , ,…, являются коэффициентами эластичности, которые показывают насколько, в среднем, изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1% при неизменном воздействии остальных факторов.

В предыдущих разделах было упомянуто о том, что вряд ли выбранная независимая переменная является единственным фактором, который повлияет на зависимую переменную. В большинстве случаев мы можем идентифицировать более одного фактора, способного влиять каким-то образом на зависимую переменную. Так, например, разумно предположить, что расходы цеха будут определяться количеством отработанных часов, использованного сырья, количеством произведенной продукции. По видимому, нужно использовать все факторы, которые мы перечислили для того, чтобы предсказать расходы цеха. Мы можем собрать данные об издержках, отработанном времени, использованном сырье и т.д. за неделю или за месяц Но мы не сможем исследовать природу связи между издержками и всеми другими переменными посредством корреляционной диаграммы. Начнем с предположений о линейной связи, и только если это предположение будет неприемлимо, попробуем использовать нелинейную модель. Линейная модель для множественной регрессии:

Вариация у объясняется вариацией всех независимых переменных, которые в идеале должны быть независимы друг от друга. Например, если мы решим использовать пять независимых переменных, то модель будет следующей:

Как и в случае простой линейной регрессии мы получаем по выборке оценки и т.д. Наилучшая линия для выборки:

Коэффициент а и коэффициенты регрессии вычисляются с помощью минимальности суммы квадратов ошибок Для дальнейшего регрессионной модели используют следующие предположения об ошибка любого данного

2. Дисперсия равна и одинакова для всех х.

3. Ошибки независимы друг от друга.

Эти предположения те же, что и в случае простой регрессии. Однако в случае они ведут к очень сложным вычислениям. К счастью, выполня вычисления, позволяя нам сосредоточиться на интерпретации и оценке торной модели. В следующем разделе мы определим шаги, которые необх предпринять в случае множественной регрессии, но в любом случае мы полагаться на компьютер.

ШАГ 1. ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Первый шаг обычно предполагает обдумать, как зависимая переменная быть связана с каждой из независимых переменных. Нет смысла нительные переменные х, если они не дают возможность объяснения вариа Вспомним, что наша задача состоит в объяснить вариацию изменения независимой переменкой х. Нам необходимо рассчитать коэффид корреляции для всех пар переменных при условии независимости наблк друг от друга. Это даст нам возможность определить, связаны х с у линей! же нет, независимы ли между собой. Это важно в множественной регр Мы можем вычислить каждый из коэффициентов корреляции, как пока: разделе 8.5, чтобы посмотреть, насколько их значения отличны от нуля нужно выяснить, нет ли высокой корреляции между значениями незавю переменных. Если мы обнаружим высокую корреляцию, например, между х то маловероятно, что обе эти переменные должны быть включены в оконч модель.

ШАГ 2. ОПРЕДЕНИЕ ВСЕХ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ МОДЕЛ

Мы можем исследовать линейную связь между у и любой комбинацией переменных. Но модель имеет силу только в том случае, если значимая линейная связь между у и всеми х и если каждый коэффи регрессии значимо отличен от нуля.

Мы можем оценить значимость модели в целом, используя того, мы должны использовать -критерий для каждого коэффициента регр чтобы определить, значимо ли он отличен от нуля. Если коэффициент сии не значимо отличается от нуля, то соответствующая независимая перем не помогает в прогнозе значения у и модель не имеет силы.

Полная процедура заключается в том, чтобы установить множествениу нейную регрессионную модель для всех комбинаций независимых переме. Оценим каждую модель, используя F-критерий для модели в целом и -кри для каждого коэффициента регрессии. Если F-критерий или любой из -кря! незначимы, то эта модель не имеет силы и не может быть использована.

модели исключаются из рассмотрения. Этот процесс занимает очень много времени. Например, если у нас имеются пять независимых переменных, то возможно построение 31 модели: одна модель со всеми пятью переменными, пять моделей, включающие четыре из пяти переменных, десять - с тремя переменными, десять - с двумя переменными и пять моделей с одной.

Можно получить множественную регрессию не исключая последовательно независимые переменные, а расширяя их круг. В в этом случае мы начинаем с построения простых регрессий для каждой из независимых переменных поочередно. Мы выбираем лучшую из этих регрессий, т.е. с наивысшим коэффициентом корреляции, затем добавляем к этому, наиболее приемлемому значению переменной у вторую переменную. Этот метод построения множественной регрессии называется прямым.

Обратный метод начинается с исследования модели, включающей все независимые переменные; в нижеприведенном примере их пять. Переменная, которая дает наименьший вклад в общую модель, исключается из рассмотрения, остается только четыре переменных. Для этих четырех переменных определяется линейная модель. Если же эта модель не верна, исключается еще одна переменная, дающая наименьший вклад, остается три переменных. И этот процесс повторяется со следующими переменными. Каждый раз, когда исключается новая переменная, нужно проверять, чтобы значимая переменная не была удалена. Все эти действия нужно производить с большим вниманием, так как можно неосторожно исключить нужную, значимую модель из рассмотрения.

Не важно, какой именно метод используется, может быть несколько значимых моделей и каждая из них может иметь огромное значение.

ШАГ 3. ВЫБОР ЛУЧШЕЙ МОДЕЛИ ИЗ ВСЕХ ЗНАЧИМЫХ МОДЕЛЕЙ

Эта процедура может бьгть рассмотрена с помощью примера, в котором определились три важнейших модели. Первоначально было пять независимых переменных но три из них - - исключены из всех моделей. Эти переменные не помогают в прогнозировании у.

Поэтому значимыми моделями оказались:

Модель 1: у прогнозируется только

Модель 2: у прогнозируется только

Модель 3: у прогнозируется вместе.

Для того, чтобы сделать выбор из этих моделей, проверим значения коэффициента корреляции и стандартного отклонения остатков Коэффициент множественной корреляции - есть отношение "объясненной" вариации у к общей вариации у и вычисляется так же, как и коэффициент парной корреляции для простой регрессии при двух переменных. Модель, которая описывает связь между у и несколькими значениями х, имеет множественный коэффициент корреляции который близок к и значение очень мало. Коэффициент детерминации который часто предлагается в ППП, описывает процент изменяемости у, которая обменяется моделью. Модель имеет значение в том случае, когда близко к 100%.

В данном примере мы просто выбираем модель с наибольшим значением и наименьшим значением Предпочтительной моделью оказалась модель следующем шаге необходимо сравнить модели 1 и 3. Различие между этими моделями состоит во включении переменной в модель 3. Вопрос в том повышает ли значительно точность предсказания значения у или же нет! Следующий критерий поможет ответить нам на этот вопрос - это частный F-критерий. Рассмотрим пример, иллюстрирующий всю процедуру построения множественной регрессии.

Пример 8.2. Руководство большой шоколадной фабрики заинтересовано в построении модели для того, чтобы предсказать реализацию одной из своих уже долго существующих торговых марок. Были собраны следующие данные.

Таблица 8.5. Построение модели для прогноза объема реализации (см. скан)

Для того чтобы модель была полезной и имела силу, мы должны отвергнуть Но и принять Значение F-критерия есть соотношение двух величин, описанных выше:

Этот критерий с одним хвостом (односторонний), потому, что средний квадрат, обусловленный регрессией, должен быть больше, чтобы мы могли принять . В предыдущих разделах, когда мы использовали F-критерий, критерии были двусторонние, так как во главу угла ставилось большее значение вариации, каким бы оно ни было. В регрессионном анализе нет выбора - наверху (в числителе) всегда вариация у по регрессии. Если она меньше, чем вариация по остаточной величине, мы принимает Но, так как модель не объясняет изменений у. Это значение F-критерия сравнивается с табличным:

Из таблиц стандартного распределения F-критерия:

В нашем примере значение критерия:

Поэтому мы получили результат с высокой достоверностью.

Проверим каждое из значений коэффициентов регрессии. Предположим, что компьютер сосчитал все необходимые -критерии. Для первого коэффициента гипотезы формулируются так:

Время не помогает объяснить изменение продаж при условии, что остальные переменные присутствуют в модели, т.е.

Время дает существенный вклад и должно быть включено в модель, т. е.

Проведем испытание гипотезы на -ном уровне, пользуясь двусторонним -критерием при:

Граничные значения на данном уровне:

Значение критерия:

Рассчитанные значения -критерия должны лежать вне указанных границ для того, чтобы мы смогли отвергнуть гипотезу

Рис. 8.20. Распределение остатков для модели с двумя переменными

Оказалось восемь ошибок с отклонениями 10% или более от фактического объема продаж. Наибольшая из них - 27%. Будет ли размер ошибки принят компанией при планировании деятельности? Ответ на этот вопрос будет зависеть от степени надежности других методов.

8.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗИ

Вернемся к ситуации, когда у нас всего две переменные, но связь между ними нелинейная. На практике многие связи между переменными являются криволинейными. Например, связь может быть выражена уравнением:

Если связь между переменными сильная, т.е. отклонение от криволинейной модели относительно небольшое, то мы сможем догадаться о природе наилучшей модели по диаграмме (полю корреляции). Однако трудно применить нелинейную модель к выборочной совокупности. Было бы легче, если бы мы могли манипулировать нелинейной моделью в линейной форме. В первых двух записанных моделях функциям могут быть присвоены разные имена, и тогда будет использоваться множественная модель регрессии. Например, если модель:

лучше всего описывает связь между у и х, то перепишем нашу модель, используя независимые переменные

Эти переменные рассматриваются как обыкновенные независимые переменные, даже если мы знаем, что и х не могут быть независимы друг от друга. Лучшая модель выбирается так же, как и в предыдущем разделе.

Третья и четвертая модели рассматриваются по-другому. Тут мы уже встречаемся с необходимостью так называемой линейной трансформации. Например, если связь

то на графике это будет изображено кривой линией. Все необходимые действия могут быть представлены следующим образом:

Таблица 8.10. Расчет

Рис. 8.21. Нелинейная связь

Линейная модель, при трансформированной связи:

Рис. 8.22. Линейная трансформация связи

В общем, если исходная диаграмма показывает, что связь может быть изображена в форме: то представление у против X, где определит прямую линию. Воспользуемся простой линейной регрессией для установления модели: Рассчитанные значения а и - лучшие значения а и (5.

Четвертая модель, приведенная выше, включает трансформацию у с использованием натурального логарифма:

Взяв логарифмы по обеих сторон уравнения, получим:

поэтому: где

Если , то - уравнение линейной связи между Y и х. Пусть - связь между у и х, тогда мы должны трансформировать каждое значение у взятием логарифма по е. Определяем простую линейную регрессию по х для того, чтобы найти значения А и Антилогарифм записан ниже.

Таким образом, метод линейной регрессии может быть применен к нелинейным связям. Однако в этом случае требуется алгебраическое преобразование при записи исходной модели.

Пример 8.3. Следующая таблица содержит данные об общем годовом объеме производства промышленной продукции в определенной стране за период

МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

1. ОТБОР ФАКТОРОВ В МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

При построении модели множественной регрессии для отображения зависимости между объясняемой переменной Y и независимыми (объясняющими) переменнымиX 1 ,X 2 , …,X k могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции. Однако наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, когда факторы входят в модель линейно.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид

где k – количество включенных в модель факторов.

Коэффициент регрессии a j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признакY , если переменнуюX j увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

Анализ уравнения (1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения:

где Y – это вектор зависимой переменной размерности, представляющий собойn наблюдений значенийy i ;X – матрицаn наблюдений независимых переменныхX 1 , X 2 , …, X k , размерность матрицыX равна

; а - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров

Таким образом,

Уравнение (1) содержит значения неизвестных параметров

… . Эти величины оцениваются на основе выборочных

наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки.

Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид

Оценка параметров модели множественной регрессии проводится с помощью метода наименьших квадратов. Формулу для вычисления

параметров регрессионного уравнения приведем без вывода:

Отбор факторов, включаемых в регрессию – один из важнейших этапов построения модели регрессии. Подходы к отбору факторов могут быть разные: один из них основан на анализе матрицы коэффициентов парной корреляции, другой – на процедурах пошагового отбора факторов.

Перед построением модели множественной регрессии вычисляются парные коэффициенты линейной корреляции между всеми исследуемыми переменными Y ,X 1 , X 2 , …, X m , и из них формируется матрица

Вначале анализируют коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи зависимой переменной со всеми включенными в анализ факторами, с целью отсева незначимых переменных.

Затем переходят к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления мультиколлинеарности.

Ситуация, когда два фактора связаны между собой тесной линейной связью (парный коэффициент корреляции между ними превышает по абсолютной величине 0,8), называется коллинеарностью факторов . Коллинеарные факторы фактически дублируют друг друга в модели, существенно ухудшая ее качество.

Наибольшие трудности возникают при наличии мультикоминеарности факторов, когда тесной связью одновременно связаны несколько факторов, т.е. когда нарушается одна из предпосылок регрессионного анализа, состоящая в том, что объясняющие переменные должны быть независимы.

Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений. Мультиколлинеарность может

приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели;

стохастической , когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. В этом случае определитель матрицы не равен нулю, но очень мал. Экономическая интерпретация параметров уравнения регрессии при этом затруднена, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения. Оценки

параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания.

Существует несколько способов для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности:

анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Явление мультиколлинеарности в исходных данных считают установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8:

исследование матрицы. Если определитель матрицы близок к нулю, это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.

Для выявления второй ситуации служит тест на мультиколлинеарность Фаррара-Глоубера. С помощью этого теста проверяют, насколько значимо определитель матрицы парных коэффициентов корреляции отличается от единицы. Если он равен нулю, то столбцы матрицыX линейно зависимы и вычислить оценку коэффициентов множественной регрессии по методу наименьших квадратов становится невозможно.

Этот алгоритм содержит три вида статистических критериев проверки наличия мультиколлинеарности:

1) всего массива переменных (критерий «хи-квадрат»);

2) каждой переменной с другими переменными (F -критерий);

3) каждой пары переменных (t -тест).

2) Вычислить наблюдаемое значение статистики Фаррара-Глоубера по формуле

Эта статистика имеет распределение (хи-квадрат).

3) Фактическое значение -критерия сравнить с табличным значением

при 0,5k (k – 1) степенях свободы и уровне значимостиα . ЕслиFG набл больше табличного, то в массиве объясняющих переменных

существует мультиколлинеарность.

2. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой переменной другими переменными (F - критерий ):

где c ij – диагональные элементы матрицыC.

3) Фактические значения F -критериев сравнить с табличным значением

при v 1 =k ,v 2 =n – k – 1 степенях свободы и уровне значимостиα , гдеk

– количество факторов. Если F j >F табл , то соответствующая j -я независимая переменная мультиколлинеарна с другими.

3. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных (t -

тест).

1) Вычислить коэффициент детерминации для каждой переменной:

2) Найти частные коэффициенты корреляции:

где c ij - элемент матрицыС . содержащийся в i -й строке и j -м столбце;c ii иc jj – диагональные элементы матрицыС .

3) Вычислить t -критерии:

4) Фактические значения критериев t ij сравнить с табличнымt табл при (n –

мультиколлинеарность.

Разработаны различные методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности. Самый простой из них, но не всегда самый эффективный, состоит в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают исходя из экономических соображений.

Для устранения мультиколлинеарности можно также:

добавить в модель важный фактор для уменьшения дисперсии случайного члена;

изменить или увеличить выборку;

преобразовать мульти коллинеарные переменные и др.

Другой метод устранения или уменьшения мультиколлинеарности – использование стратегии шагового отбора, реализованной в ряде алгоритмов пошаговой регрессии.

Наиболее широкое применение получили следующие схемы построения уравнения множественной регрессии:

метод включения – дополнительное введение фактора;

метод исключения – отсев факторов из полного его набора.

В соответствии с первой схемой признак включается в уравнение в том случае, если его включение существенно увеличивает значение множественного коэффициента корреляции. Это позволяет последовательно отбирать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак даже в условиях мультиколлинеарности системы признаков, отобранных в качестве аргументов. При этом первым в уравнение включается фактор, наиболее тесно коррелирующий сY вторым – тот фактор, который в паре с первым из отобранных дает максимальное значение множественного коэффициента корреляции, и т.д. Существенно, что на каждом шаге получают новое значение множественного коэффициента (большее, чем на предыдущем шаге); тем самым определяется вклад каждого отобранного фактора в объясненную дисперсиюY.

Вторая схема пошаговой регрессии основана на последовательном исключении факторов с помощью t -критерия. Она заключается в том, что после построения уравнения регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее по модулю значение t -критерия. После этого получают новое уравнение множественной регрессии и снова производят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Если и среди них окажутся незначимые, то опять исключают фактор с наименьшим значением t -критерия. Процесс исключения факторов останавливается на том шаге, при котором все регрессионные коэффициенты значимы.

Ни одна из этих процедур не гарантирует получения оптимального набора переменных. Однако при практическом применении они позволяют получить достаточно хорошие наборы существенно влияющих факторов.

Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F -критерий меньше табличного значения.

2. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Качество модели регрессии проверяется на основе анализа остатков регрессии ε. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод опенки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые (в действительности – почти независимые) одинаково распределенные случайные величины.

Исследование полезно начинать с изучения графика остатков. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости междуY иX график

остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.

График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения – выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как они могут грубо искажать значения оценок. Чтобы устранить эффект выбросов, надо либо удалить эти точки из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо применять методы оценивания параметров, устойчивые к подобным грубым отклонениям.

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

проверка качества уравнения регрессии;

проверка значимости уравнения регрессии;

анализ статистической значимости параметров модели;

проверка выполнения предпосылок МНК.

Для проверки качества уравнения регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R и коэффициент детерминацииR 2 . Чем ближе к единице значения этих характеристик, тем выше качество модели.

1. Основные определения и формулы

Множественная регрессия - регрессия между переменными и т.е. модель вида:

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые объясняющие переменные;

Возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов;

Число параметров при переменных

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Уравнение множественной линейной регрессии в случае независимых переменных имеет вид а в случае двух независимых переменных - (двухфакторное уравнение).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов . Строится система нормальных уравнений:

Решение этой системы позволяет получить оценки параметров регрессии с помощью метода определителей

где - определитель системы;

- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части системы.

Для двухфакторного уравнения коэффициенты множественной линейной регрессии можно вычислить по формулам:

Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности :

Средние коэффициентами эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%:

Их можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффиц и ент (индекс) множественной корреляции :

Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

Чем ближе значение индекса множественной корреляции к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.

Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной ко р реляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Частны е коэффициент ы корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов. Если вычисляется, например, (частный коэффициент корреляции между и при фиксированном влиянии ), это означает, что определяется количественная мера линейной зависимости между и которая будет иметь место, если устранить влияние на эти признаки фактора

Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить как:

или по рекуррентной формуле:

Для двухфакторного уравнения:

или

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1.

Сравнение значений парного и частного коэффициентов корреляции показывает направление воздействия фиксируемого фактора. Если частный коэффициент корреляции получится меньше, чем соответствующий парныйкоэффициент значит взаимосвязь признаков и в некоторой степени обусловлена воздействием на них фиксируемой переменной И наоборот, большее значение частного коэффициента по сравнению с парным свидетельствует о том, что фиксируемая переменная ослабляет своим воздействием связь и

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка.

Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент мн о жественной корреляции :

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации , который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: Индекс множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как

Если число параметров при близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможногопреувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции , который содержит поправку на число степеней свободы:

Чем больше величина тем сильнее различия и

Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется аналогично случаю парных коэффициентов корреляции. Единственным отличием является число степеней свободы, которое следует брать равным =--2.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом , так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью - критерия Фишера :

Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный -критерий . В общем виде для фактора частный -критерий определяется как

Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

Если фактическое значение превышает табличное, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то фактор нецелесообразно включать в модель, а коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента используется формула:

где - коэффициент чистой регрессии при факторе

- средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии которая может быть определена по формуле:

При дополнительном включении в регрессию нового фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если это не так, то включаемый в анализ новый фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по -критерию Стьюдента.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться опред е литель матрицы между факторами . Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность . При нарушении гомоскедастичности выполняются неравенства

Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 9.22).

Рис. 9.22 . Примеры гетероскедастичности:

а) дисперсия остатков растет по мере увеличения

б) дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях

в) максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений

Для проверки выборки на гетероскедастичность можно использовать метод Гольдфельда-Квандта (при малом объеме выборки) или критерий Бартлетта (при большом объеме выборки).

Последовательность применения теста Гольдфельда-Квандта :

1) Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

2) Исключить из рассмотрения центральных наблюдений. При этом где - число оцениваемых параметров. Из экспериментальных расчетов для случая однофакторного уравнения регрессии рекомендовано при =30 принимать =8, а при =60 соответственно =16.

3) Разделить совокупность из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора ) и определить по каждой из групп уравнение регрессии.

4) Вычислить остаточную сумму квадратов для первой и второй групп и найти их отношение где При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять -критерию Фишера со степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Если необходимо включить в модель факторы, имеющие два или более качественных уровней (пол, профессия, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону и т.д.), то им должны быть присвоены цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные называют фиктивными (и с кусственными) переменными .

К оэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории к другой при неизменных значениях остальных параметров. Значимость влияния фиктивной переменной проверяется с помощью -критерия Стьюдента.

2. Решение типовых задач

Пример 9. 2. По 15 предприятиям отрасли (табл. 9.4) изучается зависимость затрат на выпуск продукции (тыс. ден. ед.) от объема произведенной продукции (тыс. ед.) и расходов на сырье (тыс. ден. ед). Необходимо:

1) Построить уравнение множественной линейной регрессии.

2) Вычислить и интерпретировать:

Средние коэффициенты эластичности;

Парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне 0,05;

Частные коэффициенты корреляции;

Коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации.

3) Оценить надежность построенного уравнения регрессии и целесообразность включения фактора после фактора и после

Таблица 9.4

Решение:

1) В Excel составим вспомогательную таблицу рис. 9.23.

Рис. 9.23 . Расчетная таблица многофакторной регрессии.

С помощью встроенных функций вычислим: =345,5; =13838,89; =8515,78; =219,315; =9,37; =6558,08.

Затем найдем коэффициенты множественной линейной регрессии и оформим вывод результатов как на рис. 9.24.

Рис. 9.24 . Решение задачи в MS Excel

Для вычисления значения коэффициента используем формулы

Формулы для вычисления параметров заносим в ячейки Е 20 , Е 2 1, Е 2 2. Так длявычисления параметра b 1 в Е 20 поместим формулу =(B20*B24-B21*B22)/(B23*B24-B22^2) и получим 29,83. Аналогично получаем значения =0,301 и Коэффициент =-31,25 (рис. 9.25.).

Рис. 9.25 . Вычисление параметров уравнения множественной регрессии (в с т роке формул формула для расчета b 2) .

Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

31,25+29,83+0,301

Таким образом, при увеличении объема произведенной продукции на 1 тыс. ед. затраты на выпуск этой продукции в среднем увеличатся на 29,83 тыс. ден. ед., а при увеличении расходов на сырье на 1 тыс. ден. ед. затраты увеличатся в среднем на 0,301 тыс. ден. ед.

2) Для вычисления средних коэффициентов эластичности воспользуемся формулой: Вычисляем: =0,884 и =0,184. Т.е. увеличение только объема произведенной продукции (от своего среднего значения) или только расходов на сырье на 1% увеличивает в среднем затраты на выпуск продукции на 0,884% или 0,184% соответственно. Таким образом, фактор оказывает большее влияние на результат, чем фактор

Для вычисления парных коэффициентов корреляции воспользуемся функцией «КОРРЕЛ» рис. 9.26.

Рис. 9.26 . Вычисление парных коэффициентов корреляции

Значения парных коэффициентов корреляции указывают на весьма тесную связь с и на тесную связь с В то же время межфакторная связь очень сильная (=0,88>0,7), что говорит о том, что один из факторов является неинформативным, т.е. в модель необходимо включать или или

З начимост ь парных коэффициентов корреляции оценим с помощью -критерия Стьюдента. =2,1604 определяем с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР взяв =0,05 и =-2=13.

Фактическое значение -критерия Стьюдента для каждого парного коэффициента определим по формулам: . Результат расчета представлен на рис. 9.27.

Рис. 9.27 . Результат расчета фактических значений -критерия Стьюдента

Получим =12,278; =7,1896; =6,845.

Так как фактические значения -статистики превосходят табличные, то парные коэффициенты корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Получим =0,81; =0,34; =0,21. Таким образом, фактор оказывает более сильное влияние на результат, чем

При сравнении значений коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за сильной межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции отличаются довольно значительно.

Коэффициент множественной корреляции

Следовательно, зависимость от и характеризуется как очень тесная, в которой =93% вариации затрат на выпуск продукции определяются вариацией учтенных в модели факторов: объема произведенной продукции и расходов на сырье. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 7% от общей вариации

Скорректированный коэффициент множественной детерминации =0,9182 указывает на тесную связь между результатом и признаками.

Рис. 9.28 . Результаты расчета частных коэффициентов корреляции и коэфф и циента множественной корреляции

3) Оценим надежность уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Вычислим . =3,8853 определяем взяв =0,05, =2, =15-2-1=12 помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР с такими же параметрами.

Так как фактическое значение больше табличного, то с вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения множественной линейной регрессии в целом.

Оценим целесообразность включения фактора после фактора и после с помощью частного -критерия Фишера по формулам

; .

Для этого в ячейку B32 заносим формулу для расчета F x 1 «=(B28- H24^2)*(15-3)/(1-B28) », а в ячейку B 33 формулу для расчета F x 2 «=(B28-H23^2)*(15-3)/(1-B28) », результат вычисления F x 1 = 22,4127, F x 2 = 1,5958. Табличное значение критерия Фишера определим с помощью встроенной функции FРАСПОБР с параметрами =0,05, =1, =12 «=FРАСПОБР(0,05; 1 ;12) », результат - =4,747. Так как =22,4127>=4,747, а =1,5958<=4,747, то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора после того, как уже введен фактор нецелесообразно (рис. 9.29).

Рис. 9.29 . Результаты расчета критерия Фишера

Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора после фактора Это означает, что парная регрессионная модель зависимости затрат на выпуск продукции от объема произведенной продукции является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (расходы на сырье).

3. Дополнительные сведения для решения задач с помощью MS Excel

Сводные данные основных характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Опис а тельная статистика . Порядок действий следующий:

1. Необходимо проверить доступ к Пакету анализа . Для этого в ленте выбираем вкладку «Данные», в ней раздел «Анализ» (рис. 9.30.).

Рис. 9.30 . Вкладка данные диалоговое окно «Анализ данных»

2. В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать Описательная стат и стика и нажать кнопку «ОК», в появившемся диалоговом окне заполните необходимые поля (рис. 9.31):

Рис. 9.31 . Диалоговое окно ввода параметров инструмента
« Описательная статистика »

Входной интервал - диапазон, содержащий данные результативного и объясняющих признаков;

Группирование - указать, как расположены данные (в столбцах или строках);

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.

Для получения информации Итоговой статистики, Уровня наде ж ности, -го наибольшего и наименьшего значений нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне.

Получаем следующую статистику (рис. 2.10).

Другое

Анализ основных экономических показателей деятельности предприятия Оценка финансового положения

Другое

Как оплачивается работа в ночное время по тк рф Что такое работа в ночное время публикации

Судебные споры

Какие вопросы следует задавать на собеседовании с бухгалтером