Критерий оптимальности призван помочь обосновать решение. Практические задачи обоснования решения можно условно подразделить на 3 типа. Сущность задач 1-го типа заключается в необходимости выбора наилучшего варианта действий, обеспечивающих достижение вполне определённого, т. е. заданного результата при минимальном расходе ресурсов. В задачах 2-го типа объём имеющихся ресурсов зафиксирован, нужно найти наилучший вариант их использования для получения максимального результата. Задачи, в которых поиск наилучшего варианта ведётся при отсутствии жёстких ограничений как по объёму используемых ресурсов, так и по конечному результату, относятся к 3-му типу. При обосновании решений оперируют понятием степень достижения цели, которую характеризуют определённым показателем.
Ресурсы, имеющиеся в распоряжении общества, отрасли или предприятия, ограничены, поэтому объём ресурсов, выделяемых на одну цель, в какой-то степени зависит от того, сколько их выделено на др. цели. Следовательно, любой вариант распределения ресурсов прямо или косвенно касается одновременно несколько целей и поэтому характеризуется несколькими показателями.
Решение задачи любого типа в принципе сводится к рассмотрению множества альтернатив с последующей их сравнительной оценкой и выбором наилучшей. Примером задачи 1-го типа может служить т. н. транспортная задача. В стране имеется n мест добычи угля, откуда он доставляется т потребителям, расположенным в различных городах страны. Известна стоимость доставки тонны угля из i -го места добычи (i = 1, 2,..., n ) в j -й пункт потребления (j = 1, 2,..., m ).
Количество угля x j , необходимое каждому потребителю, также известно. Следует определить план доставки потребителям требующегося количества угля при минимуме затрат. Решение такой задачи методологически просто, поскольку значения всех показателей, характеризующих результаты действий, - x j зафиксированы (являются ограничениями в виде равенств). Каждый вариант плана обеспечения потребителей углём оценивается одним переменным показателем - затратами, являющимися Критерий оптимальности Значительно сложнее решать задачи подобного типа, когда, кроме денежных затрат, приходится учитывать расход материальных, трудовых и др. ресурсов, которые иногда не удаётся выразить в денежной форме. Аналогичные трудности возникают в задачах 2-го типа, поскольку результаты распределения ресурсов характеризуются несколькими показателями, имеющими переменное значение. Случай, когда сравниваются различные варианты капиталовложений в развитие отрасли, производственные объединения или отдельные предприятия и соответствующие им конечные результаты работы, является примером задачи 3-го типа. С такими задачами чаще всего приходится встречаться в процессе планирования, когда нужно решить, что лучше - повысить производственные возможности за счёт увеличения капиталовложений или, предположим, оставить те и др. на прежнем уровне. Результаты каждого решения характеризуются сочетанием значений нескольких показателей. Чтобы установить, какое из возможных решений лучше, нужно сравнить их по нескольким показателям. В этом случае может возникнуть необходимость в формировании Критерий оптимальности , который облегчит сравнительную оценку альтернатив. В качестве Критерий оптимальности можно использовать величину, которая, как и отдельные показатели, измеряется в непрерывной или дискретной шкалах. Причём дискретные оценки могут быть порядковыми и метрическими. Порядковая шкала представляет собой последовательность различных сочетаний значений показателей, составленную исходя из соответствия этих сочетаний определённым целям. При использовании подобной шкалы для сравнения вариантов нельзя установить, насколько один результат лучше другого, можно только определить, какой из вариантов лучше других. Метрическая шкала, в отличие от порядковой, допускает оценку «расстояния» между двумя соседними порядками (рангами), т. е. позволяет установить, насколько одна альтернатива лучше другой. Примером порядковой шкалы для одного показателя могут быть словесные (качественные) определения степени достижения намеченной цели: полное удовлетворение какой-либо потребности, частичное удовлетворение потребности и т. п. Показатель, выраженный в метрической шкале, может представлять собой объём продукции определённого назначения. На практике чаще всего приходится сравнивать альтернативы, различающиеся конечными результатами и затратами типа «лучше и дороже», «хуже и дешевле». Причём результаты характеризуются несколькими показателями. Задачи подобного типа иногда называют задачами векторной оптимизации. При этом компонентами вектора являются показатели, характеризующие степень достижения отдельных целей. Среди сравниваемых вариантов обычно выделяют рациональные, к числу которых относятся варианты, обеспечивающие достижение определённого результата при минимуме затрат или достижение максимального результата при определённых затратах. Выбор наилучшего (оптимального) варианта из числа рациональных может производиться с помощью соответствующих Критерий оптимальности Объективная необходимость сравнивать варианты по нескольким несоизмеримым показателям является основной причиной трудностей, которые нужно преодолеть при формировании Критерий оптимальности Нельзя считать лучшим вариант, при котором один показатель невозможно дальше увеличивать, не уменьшая значения хотя бы одного из остальных (т. н. оптимум или максимум по Парето ). Критерий оптимальности должен быть таким, чтобы в общем случае можно было сравнивать варианты, когда один из показателей (одна из компонент вектора) возрастает, а другой уменьшается. По-видимому, самое большое, на что можно рассчитывать при сравнении векторов (сочетаний значений нескольких показателей, характеризующих степень достижения различных целей),- это установление предпочтений между ними, т. е. оценка векторов с помощью порядковой шкалы. Следует заметить, что оценки векторов по порядковой шкале вполне достаточно для сравнения вариантов и выбора наилучшего из них.
В условиях социалистического общества все решения, принимаемые на различных уровнях в системе планирования и управления, должны в максимально возможной степени соответствовать высшей цели - наиболее полному удовлетворению потребностей общества. Эта цель может быть достигнута при условии постановки и последующего достижения определённой совокупности социально-экономических целей, предусматривающих удовлетворение всех потребностей общества. Для удовлетворения потребностей общество должно производить различную продукцию. Необходимость в этой продукции зависит от уровня удовлетворения личных и др. непроизводственных потребностей сегодня и в будущем. Т. о., уровень развития производства можно рассматривать как аргумент, функцией которого является степень удовлетворения непроизводственных потребностей общества. Одна из задач планирования - определение наиболее рациональных пропорций в производстве различных продуктов. В процессе планирования должны быть рассмотрены варианты распределения трудовых и др. ресурсов, имеющихся в распоряжении общества, и выбран тот вариант, который в наибольшей степени отвечает потребностям общества. Маркс писал, что «общественная потребность, то есть потребительная стоимость в общественном масштабе, - вот что определяет здесь долю всего общественного рабочего времени, которая приходится на различные особые сферы производства» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 25, ч. 2, с. 186). Т. о., сравнительная оценка вариантов народно-хозяйственного плана должна производиться по критерию, отражающему степень соответствия плана общественным потребностям. Планы реализуются во времени и пространстве. Следовательно, в общем случае значения отдельных показателей должны характеризовать изменения степени удовлетворения потребностей в разные годы периода планирования и в различных районах страны. Сравнение вариантов плана по большому числу показателей представляет значительные трудности. Чтобы уменьшить число показателей, прибегают к обобщению информации. Чем выше уровень планирующего органа, тем больше степень обобщения. Так, для принятия решения на высшем уровне степень удовлетворения определённой потребности населения, по-видимому, можно представить как отношение планируемого объёма производства продуктов некоторого вида к количеству продуктов (услуг), обеспечивающему данную потребность в соответствии с платёжеспособным спросом населения, а также за счёт общественных фондов. При этом степень удовлетворения потребности будет характеризоваться одним показателем . Чтобы избежать необходимости оперировать значениями этого показателя в разные годы, можно учитывать его значение на конец планируемого периода. Это допустимо, если предполагается равномерное увеличение значения показателя по годам. Если исходить из необходимости удовлетворения n потребностей общества, то каждый вариант народно-хозяйственного плана будет характеризоваться, как минимум, сочетанием значений n показателей 1 , 2 ,..., n .
Сравнительная оценка вариантов плана, разрабатываемого на любом уровне, может производиться либо непосредственно по сочетанию значений показателей, либо по специально сформированному Критерий оптимальности Главным требованием, которому должен отвечать Критерий оптимальности , используемый на любом уровне, является возможность обеспечить оценку вариантов исходя из поставленной цели. Одним из способов отражения соответствия различных сочетаний значений нескольких показателей высшей цели является упорядоченная последовательность этих сочетаний.
Выбор или формирование Критерий оптимальности - главный вопрос сравнительной оценки альтернатив. При этом основным методологическим принципом является системный подход к оценке возможных решений. Сущность системного подхода заключается в том, что целесообразность тех или иных изменений объекта определяется с учётом его взаимосвязей, исходя из интересов системы, составной частью которой является рассматриваемый объект. Нельзя дать заранее какие-либо рекомендации относительно конкретного содержания Критерий оптимальности Они могут быть сделаны только после рассмотрения общих целей и установления степени соответствия различных сочетаний значений показателей, характеризующих объект, целям, которые стоят перед системой.
При обосновании решений особое значение имеет учёт неопределённости, например, характеристик разрабатываемой техники, её стоимости, условий, в которых она будет использоваться, и т. п.
Существует формальная «теория принятия решений», которая рассматривает различные способы формирования критерия оценки альтернатив в условиях неопределённости: критерий максимина, критерий минимаксного сожаления и т. п. Сравнение альтернатив нужно всегда проводить по одному критерию. Однако это не исключает возможности поочерёдной оценки вариантов сначала по одному, а затем по другому критерию.
Вопросам количественного обоснования решений в условиях неопределённости уделено значительное внимание в литературе по анализу систем. Анализ систем представляет собой метод оценки альтернатив в условиях неопределённости при наличии нескольких противоречивых целей. Применение этого метода облегчает обоснование целей действий, а также выявление преимуществ и недостатков альтернативных вариантов действия. Однако окончательный выбор осуществляется руководителем, ответственным за принятие решения.
Лит.: Льюс Р. Д., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961; Пугачев В. Ф., Оптимизация планирования (теоретические проблемы), М., 1968; Федоренко Н. П., О разработке системы оптимального функционирования экономики, М., 1968; Солнышков Ю. С., Как обосновать решение, М., 1972.
Ю. С. Солнышков.
Статья про слово "Критерий оптимальности " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 11409 раз
Основная проблема постановки задачи оптимальности - формулировка целевой функции (ЦФ). Все выходные параметры являются функциями внутренних параметров и, следовательно, не могут изменяться независимо друг от друга. Среди них всегда можно найти такие параметры, что улучшение одного из них приводит к ухудшению другого. Такие параметры называются конфликтными.
Если среди выходных параметров можно выделить параметр, наиболее важный и наиболее полно характеризующий свойства объекта, то его естественно и принять за ЦФ. Это частный критерий. В большинстве частных критериев в качестве ЦФ принимают один из выходных параметров, все остальные выходные параметры в виде соответствующих условий работоспособности относят к ограничениям. Например, при проектировании космического аппарата (КА) применяют критерий начальной массы аппарата при заданной массе полезного груза, поскольку она в значительной степени влияет на стоимость выведения КА на орбиту. Следовательно, минимизируются затраты топлива. Применяются, например, ограничения типа равенств на угловую дальность (траекторию) и неравенств на время полета.
Однако в большинстве случаев отдать предпочтение одному среди качественно разнородных величин довольно трудно, поэтому прибегают к построению комплексного критерия, при котором ЦФ объединяет все или большинство выходных параметров. Рассмотрим наиболее распространенные из комплексных критериев.
Мультипликативные критерии . Они могут применяться в тех случаях, когда в ТЗ отсутствуют условия работоспособности типа равенства и выходные параметры не могут принимать нулевые значения.
Тогда ЦФ, подлежащая максимизации, имеет вид:
f (x ) = ,
где: ‘+" - ограничения, при которых необходимо максимальное увеличение функции;
‘-" - ограничения, при которых необходимо минимизировать функцию.
Удобство этого критерия в том, что не требуется нормирования.
Например, к числу указанных ограничений в ряде задач относятся: ‘+"- КПД, мощность; ‘-" - габариты, вес.
Аддитивные критерии . В аддитивных критериях целевая функция образуется путем сложения выходных параметров, преобразованных к безразмерным слагаемым. Это осуществляется с помощью введения нормирующих множителей - весовых коэффициентов. Нормирование необходимо для объединения нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность. Тогда ЦФ имеет вид:
f (x )= ω j y j (x ),
где ω j - весовой коэффициент, определяемый самим инженером или группой экспертов.
Статистические критерии . Оптимизация имеет целью получения максимальной вероятности Р выполнения условий работоспособности. Эту вероятность и принимают в качестве ЦФ. Например, применение статистического критерия позволяет добиться наименьшего процента брака при серийном производстве спроектированных изделий, т. е. получить максимальную серийную пригодность, или, используя статистические данные по старению, можно получить объекты, имеющие высокую надежность.
Максимальные (минимальные) критерии . Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через Z j и назовем запасом работоспособности параметра y j . Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например:
где - весовой коэффициент;
Номинальное значение j-го выходного параметра;
Величина, характеризующая разброс j-го выходного параметра. Рекомендуется 5 ≤≤ 20.
Если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке x является наихудшим с позиции выполнения требований ТЗ, то:
f (x )= min (x ), 1≤ j ≤ m .
где m - количество запасов работоспособности.
Поэтому ставится задача о выборе такой стратегии поиска x, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.
max f(x)=max min (x), 1 ≤ j ≤ m, x X Д ,
где X Д - допустимая для поиска область.
Задача оптимизационного проектирования технических объектов в некоторых случаях можно сформулировать как задачу безусловной оптимизации (без ограничений), но наиболее типичной является условия оптимизации, дающая условие целевой функции при наличии ограничений.
В зависимости от диапазона исследования различают методы локальной и глобальной оптимизации, которые могут и не совпадать.
В зависимости от порядка используемых производных целевой функции по управляемым параметрам методы оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков. В методах нулевого порядка (прямых методах) информация о производных не используется. Для методов первого порядка необходимо вычислять как значение функции качества, так и ее первые частные производные (градиентные методы). В методах второго порядка организация поиска экстремума ведется с учетом значений целевой функции, ее первых и вторых производных.
В зависимости от количества управляемых параметров ЦФ различают методы одномерного и многомерного поиска. В зависимости от вида ММ при решении задач оптимального проектирования можно использовать следующие методы: исследование функций классического анализа; метод множителей Лагранжа; вариационное исчисление; принцип максимума Понтрягина; динамическое программирование; линейное программирование; нелинейное программирование; методы случайного поиска и др.
Все градиентные методы используют особенности поведения градиента, которые заключаются в том, что градиент ортогонален к гиперповерхности целевой функции в точке его определения и это направление совпадает с локальным направлением наибыстрейшего возрастания целевой функции. Способ выбора шага, направления поиска или того и другого одновременно определяют сущность метода. Особенностью метода наискорейшего спуска является движение с оптимальным шагом, рассчитанным с помощью одномерной минимизации целевой функции по шагу вдоль антиградиентного направления. Действительно, если в какой - либо точке x направление поиска определено, то целевая функция может считаться функцией переменного параметра шага, характеризующего положение новой точки на x заданной прямой. Поэтому алгоритм метода наискорейшего спуска содержит следующие этапы.
- 1. Вычисление частных производных целевой функции по управляемым параметрам в исходной или промежуточной точке.
- 2. Нахождение одним из методов одномерного поиска оптимального вдоль антиградиентного направления.
- 3. Вычисление координат новой точки x .
Движение прекращается вдоль одного направления, когда линия направления поиска становится касательной к какой - либо линии равного уровня. Каждое направление движения к экстремуму ортогонально предшествующему, если ЦФ квадратичная.
В отличие от градиентных, методы поисковой оптимизации хорошо программируются и требуют меньших затрат машинного времени. Для них характерен выбор направления поиска оптимума по результатам последовательных вычислений ЦФ. По способу точки испытаний ЦФ поисковые методы оптимизации делятся на детерминированные методы поиска и методы случайного поиска. В детерминированных методах переход их предыдущей точки в последующую происходит в соответствии с некоторым алгоритмом, определяющим тот или иной метод. В методах случайного поиска в этот процесс вносится некоторый элемент случайности.
Рассмотрим работу одного из детерминированных методов, предложенный Вудом. Метод поочередно реализует две стратегии поиска: «исследующий поиск» и «поиск по образцу». Вначале задаются исходными значениями элементов x, а также элементов вектора приращений Δ x . «Исследующий поиск» заключается в следующем. Циклически по каждой переменной x вычисляют значение целевой функции для x i + Δ x i и x i - Δ x i , оставляя при этом остальные переменные неизменными. Если окажется, что значение ЦФ улучшается при изменении x на величину ± Δ x i , то новое значение фиксированной переменной принимают равным x i + Δ x i или x i - Δ x i . Аналогичные действия выполняют и для остальных переменных.
После проведения одного (или более) «исследующего поиска» переходят к стратегии «поиска по образцу», заключающейся в следующем. В направлении вектора, определяемого изменениями переменных, которые улучшают значение целевой функции, делают несколько ускоряющихся шагов до тех пор, пока значение ЦФ продолжают уменьшаться. Длину шага при «поиске по образцу» для ускорения увеличивают пропорционально числу удачных шагов введением некоторого множителя. Если «поиск по образцу» после серии удачных шагов перестает улучшать значение целевой функции, то возвращаются к стратегии «исследующего поиска».
Описанный поиск прекращается при выполнении одного из следующих трех условий:
- 1) ЦФ достигает некоторого заранее установленного значения;
- 2) значения ЦФ оказываются меньше заранее определенных чисел (в задаче минимизации);
- 3) разность между последним и предыдущим значениями ЦФ не превышают некоторого заранее установленного уровня.
Идея методов случайного поиска заключается в том, чтобы перебором совокупностей случайных значений управляемых параметров найти оптимальное значение ЦФ. В отличие от детерминированных методов, в методах случайного поиска направления поиска выбираются случайными на основе генерации в ЭВМ псевдослучайных чисел посредством специальных программ.
Среди многих разновидностей методов случайного поиска простейшим будет слепой поиск (метод Монте-Карло). На (k+1)-м шаге поиска выбирается случайная точка из допустимой области, вычисляется значение x k+1 и сравнивается со значением, полученным на предыдущем шаге. Если 
, то запоминаются координаты точки и новое значение ЦФ, иначе делается попытка достичь успеха либо изменяя направление на противоположное, либо выбирая новое случайное направление.
Отсутствие универсального метода оптимизации послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. Рассмотрим такие методы, которые можно применить для оптимизаций конструкций элементов и узлов ракетных комплексов.
Процедуры параметрического синтеза в САПР либо выполняются человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации.
Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X , к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.
Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски.
Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования
где F (X ) – целевая функция; X – вектор управляемых параметров; φ(X ) и ψ(X ) – функции-ограничения; D x – допустимая область в пространстве управляемых параметров. Указанная запись описывает задачу поиска экстремума путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.
Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, во-первых, сформулировать задачу, во-вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).
Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (2.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.
Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.
В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи. Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 2.1).
На рис. 2.1 представлено двумерное пространство выходных параметров y 1 и у 2 , для которых заданы условия работоспособности у 1 < Т 1 и у 2 < Т 2 . Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют областью работоспособности.
Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшению всех выходных параметров, называют областью компромиссов или областью Парето. Участок кривой АВ(см. рис. 2.1) относится к области Парето.
Если в качестве целевой функции (рис. 2.1) выбрать параметр у 1 , то результатом оптимизации будут параметры X , соответствующие точке В . Но это граница области работоспособности, и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде
У 2 < Т 2 + Δ,
где Δ – уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т. е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран параметр у 2 , так как оптимизация приведет в точку А .
Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев
, (2.2)
где ω j – весовой коэффициент; т – число выходных параметров. Функционал (2.2) подлежит минимизации.
Недостатки аддитивного критерия – субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно, в (2.2) не входят нормы выходных параметров.
Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид
, (2.3)
Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (2.3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный.
Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности этого выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра Sj и этот запас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме у j < Т j :
S j = (T j – y j)/T j ,
S j = (T j – y ном j )/ d j ,
где y ном . j – номинальное значение, δ j – некоторая характеристика рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть
.
Здесь запись означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т . Задача (2.2) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом:
, (2.4)
где допустимая область D x определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры x i:
x i min < x i < x i max .
